Carlos David Laura Quispe FORMULARIO DE ÁLGEBRA: Un Recorrido por Definiciones, Propiedades, Teoremas, Fórmulas y Artificios; a Través de 115 Mapas Mentales. Carlos David Laura Quispe1 1 Carlos David Laura Quispe, es Licenciado en Ciencias de la Educación especialidad físico- matemático, Matemático, Economista y Magister en Informática Educativa, por el Instituto de Informática Educativa (IIE) de la Universidad de la Frontera (UFRO), de la Región Araucanía de Chile. Es investigador del Consorcio de Investigación Económica y Social (CIES). 1 Formulario de Álgebra 2 Carlos David Laura Quispe CONTENIDO PRESENTACIÓN ............................................................................................... 9 SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA .......................................................................... 11 NOTACIÓN MATEMÁTICA ............................................................................. 12 LENGUAJE ALGEBRAICO ............................................................................. 13 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................. 14 1.1 Conjuntos numéricos ............................................................................ 14 1.2 Conjunto de los números racionales ..................................................... 15 1.3 Clasificación de los números racionales ............................................... 16 1.4 Fracción generatriz de un decimal ....................................................... 17 1.5 Sistema de los números reales ............................................................. 18 TEORÍA DE EXPONENTES ............................................................................ 19 2.1 Teoría de exponentes ........................................................................... 19 2.2 Propiedades de teoría de exponentes .................................................. 20 2.3 Ecuaciones exponenciales .................................................................... 21 2.4 Resolución de una ecuación exponencial ............................................. 22 POLINOMIOS EN R ......................................................................................... 23 3.1 Polinomios en R .................................................................................... 23 3.2 Grado de un polinomio en R ................................................................. 24 3.3 Operaciones con polinomios ................................................................ 25 3.4 Raíz cuadrada de polinomios ................................................................ 26 PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................... 27 4.1 Productos notables .............................................................................. 27 4.2 Productos notables especiales ............................................................. 28 4.3 Productos notables de un trinomio al cuadrado ................................... 29 4.4 Productos notables condicionales ......................................................... 30 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ............................................................................. 31 5.1 División de polinomios .......................................................................... 31 5.2 Teoremas de la división de polinomios ................................................. 32 5.3 División de polinomios: método de Horner ............................................ 33 5.4 División de polinomios: método de Ruffini ............................................ 34 3 Formulario de Álgebra 5.5 División de polinomios: teorema del resto ............................................. 35 5.6 División de polinomios: casos especiales ............................................. 36 COCIENTES NOTABLES ................................................................................. 37 6.1 Cocientes notables................................................................................ 37 6.2 Cocientes notables: término general ..................................................... 38 6.3 Cocientes notables: formas abreviadas ................................................ 39 FACTORIZACIÓN ............................................................................................. 40 7.1 Factorización ......................................................................................... 40 7.2 Factorización: aspa simple y aspa doble .............................................. 41 7.3 Factorización: aspa doble especial ....................................................... 42 7.4 Factorización: divisores binomios ......................................................... 43 7.5 Factorización: aspa triple ...................................................................... 44 7.6 Método de los artificios ......................................................................... 45 FRACCIONES ALGEBRAICAS ....................................................................... 46 8.1 Fracciones algebraicas ......................................................................... 46 8.2 Operaciones con fracciones algebraicas .............................................. 47 8.3 Fracciones parciales ............................................................................. 48 RADICACIÓN EN R .......................................................................................... 49 9.1 Radicación en R .................................................................................... 49 9.2 Propiedades de radicación en R ........................................................... 50 9.3 Propiedades de radicación en R: propiedades adicionales ................... 51 9.4 Radicales dobles ................................................................................... 52 9.5 Casos de radicales dobles .................................................................... 53 9.6 Racionalización ..................................................................................... 54 FACTORIALES ................................................................................................. 55 10.1 Factoriales .......................................................................................... 55 10.2 Propiedades de los factoriales ............................................................ 56 10.3 Números combinatorios ...................................................................... 57 10.4 Propiedades de los números combinatorios ....................................... 58 10.5 Binomio de Newton ............................................................................. 59 10.6 Binomio de Newton: triángulo de Pascal ............................................. 60 4 Carlos David Laura Quispe NÚMEROS IMAGINARIOS ............................................................................... 61 11.1 Números imaginarios .......................................................................... 61 11.2 Propiedades de los números imaginarios ........................................... 62 11.3 Números complejos ............................................................................ 63 11.4 Representación de números complejos .............................................. 64 ECUACIONES .................................................................................................. 65 12.1 Ecuaciones ......................................................................................... 65 12.2 Ecuaciones irracionales ...................................................................... 66 12.3 Ecuaciones fraccionarias .................................................................... 67 12.4 Ecuaciones cuadráticas ...................................................................... 68 12.5 Ecuaciones cuadráticas: propiedades de las raíces ........................... 69 12.6 Ecuaciones cuadráticas: propiedades adicionales .............................. 70 12.7 Ecuaciones bicuadradas ..................................................................... 71 12.8 Ecuaciones polinómicas ...................................................................... 72 12.9 Ecuaciones polinómicas: propiedades ................................................ 73 MATRICES ........................................................................................................ 74 13.1 Matrices .............................................................................................. 74 13.2 Matrices: orden de una matriz ............................................................. 75 13.3 Matrices: matrices especiales ............................................................. 76 13.4 Matrices: casos particulares de una matriz cuadrada ......................... 78 13.5 Operaciones con matrices .................................................................. 82 13.6 Multiplicación de matrices ................................................................... 83 13.7 Potenciación de matrices .................................................................... 84 13.8 Matriz de cofactores ............................................................................ 86 13.9 Matriz inversa ...................................................................................... 87 13.10 Matriz inversa: método de Gauus ..................................................... 88 13.11 Matriz inversa: método de adjuntas .................................................. 89 DETERMINANTES............................................................................................ 90 14.1 Determinantes ..................................................................................... 90 14.2 Determinantes: regla de sarrus ........................................................... 91 14.3 Determinantes: propiedades ............................................................... 92 5 Formulario de Álgebra SISTEMAS DE ECUACIONES ......................................................................... 93 15.1 Sistemas de ecuaciones ..................................................................... 93 15.2 Sistemas de ecuaciones equivalentes ................................................ 94 15.3 Clases de sistemas de ecuaciones ..................................................... 95 15.4 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas .......................... 96 15.5 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas ......................... 97 15.6 Sistemas de ecuaciones: método de Cramer ..................................... 98 15.7 Sistemas de ecuaciones lineales con "n" incógnitas ........................... 99 15.8 Teorema de ROUCHÉ FRÖBENIUS ................................................ 100 15.9 Sistemas de ecuaciones homogéneas .............................................. 101 15.10 Método de Gauus para resolver sistemas de ecuaciones lineales.. 102 15.11 Resumen de los sistemas de ecuaciones ...................................... 103 15.12 Sistemas de ecuaciones cuadráticas ............................................. 104 INTERVALOS ................................................................................................. 105 16.1 Intervalos .......................................................................................... 105 16.2 Clases de intervalos .......................................................................... 106 16.3 Conjuntos acotados .......................................................................... 107 16.4 Inecuaciones ..................................................................................... 108 16.5 Inecuaciones: soluciones .................................................................. 109 16.6 Inecuaciones: propiedades ............................................................... 110 16.7 Inecuaciones: propiedades adicionales ............................................ 111 16.8 Inecuaciones: método de los puntos críticos .................................... 112 16.9 Valor adsoluto ................................................................................... 113 PROGRESIÓN ARITMÉTICA ......................................................................... 114 17.1 Progresión aritmética (P.A.) .............................................................. 114 17.2 Progresión aritmética: propiedades ................................................... 115 17.3 Progresión geométrica (P.G.)............................................................ 116 17.4 Progresión geométrica: propiedades ................................................ 117 LOGARITMOS ................................................................................................ 118 18.1 Logaritmos ........................................................................................ 118 18.2 Logaritmos: propiedades ................................................................... 119 6 Carlos David Laura Quispe 18.3 Logaritmo neperiano ......................................................................... 120 18.4 Cologaritmo y antilogaritmo .............................................................. 121 SERIES ARITMÉTICAS NOTABLES ............................................................. 122 19.1 Series aritméticas notables: adición .................................................. 122 19.2 Series aritméticas notables: producto ............................................... 123 19.3 Series de Taylor ................................................................................ 124 REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS ................................................................. 125 7 Formulario de Álgebra 8 Carlos David Laura Quispe Presentación No cabe duda que la matemática, como área de enseñanza, ha sido y sigue siendo un auténtico “calvario” para un porcentaje muy significativo de estudiantes. Las dificultades que entrañan su enseñanza y aprendizaje y los malos resultados en los diferentes niveles, la han convertido en una disciplina árida y selectiva. Como área del conocimiento, la matemática está presente en todas las épocas y culturas como una necesidad para cuantificar la realidad, lo cuantitativo, aunque fruto de un consenso artificial, forma parte de nuestra vida cotidiana. (Macnab & Cummine (1986) sostienen que uno de los problemas que, en general, se presentan en la enseñanza y aprendizaje de la matemática en todos los niveles educativos, es el relativo al aprendizaje del lenguaje algebraico. Es su propia cualidad de lenguaje la que proporciona una de las mayores dificultades debido fundamentalmente a su grado de abstracción, la utilización de símbolos para representarla, sus características sintácticas de notación, signos de operación, utilización de paréntesis, sentido y uso de las letras, etc. El mayor rechazo corresponde al Álgebra por las dificultades de comprensión y la íntima relación entre los distintos temas. La única finalidad que nos ha motivado a preparar este formulario se reduce a exponer al estudiante las temidas matemáticas bajo un aspecto más atractivo, a familiarizarse del modo más simple con las definiciones, propiedades, teoremas, fórmulas y artificios y facilitar la tarea del estudiante. Dicho de otra manera nuestro propósito se reduce a guiar al estudiante en un paseo más ordenado y lógico por el maravilloso mundo del álgebra. Creemos que hemos escrito todo lo que un alumno debe saber después de un buen aprovechamiento del curso de álgebra. Tentados en algunas ocasiones por profundizar más determinados conceptos. Hemos querido escribir exclusivamente lo que los docentes procuramos hacer en clases y, lo que un estudiante de educación media debería saber. 9 Formulario de Álgebra 10 Carlos David Laura Quispe Simbología Matemática Símbolo Significado Es menor que Es mayor que Es menor o igual que Es mayor o igual que Es perpendicular y o Ángulo Contenido en Para todo Implica Si y sólo si (doble implicancia) Es igual a Es diferente de, es distinto de Es equivalente a Es congruente con Pertenece a No pertenece a Existe Unión entre conjuntos Intersección entre conjuntos Por consiguiente Sumatoria integral Valor absoluto Máximo entero Integral doble Integral triple Productoria Paréntesis Corchetes Llaves Esta incluido estrictamente Conjunto Vacío 11 Formulario de Álgebra Notación Matemática ; ; ; Ángulos (planos) L; l Longitud b Anchura h Altura r; R Radio d; D Diámetro 2p Perímetro p Semiperímetro A; S Área AL Área lateral AT Área total V Volumen t Tiempo v Velocidad a Aceleración f 1 Función inversa ( fog) Composición de funciones M (x; y) Punto medio P(x; y) Punto P cualquiera C Centro m Mediana e b Bisectriz interior i b Bisectriz exterior e PQ Segmento PQ î Ángulo interior ê Ángulo exterior S o Grados sexagesimales C g Grados centesimales Rrad Radianes X Media m Pendiente d A; B Distancia entre los puntos A y B d ; P Distancia de la recta al punto P 12 Carlos David Laura Quispe Lenguaje Algebraico Lenguaje Algebraico Lenguaje Cotidiano Más, suma, adición, añadir, aumentar Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar . De, del, veces, producto, por, factor : División, cociente, razón, es a Igual, resulta, se obtiene, equivale a x Un número cualquiera x 1 Sucesor de un número x 1 Antecesor de un número 2x Doble de un número, duplo, dos veces, número par, Múltiplo de dos 3x Triple de un número, triplo, tres veces, múltiplo de tres 4x Cuádruplo de un número x 2 Cuadrado de número x3 Cubo de un número 1 x Mitad de un número, un medio de x ó 2 2 1 x Tercera parte de un número, un tercio de x ó 3 3 1 Inverso multiplicativo x 2x 1 ó 2x 1 Número impar x y Semi suma de dos números 2 x y Semi diferencia de dos números 2 x; x 1, x 2, x 3, x 4,... Números consecutivos 2x;2x 2,2x 4,2x 6,2x 8,... Números pares consecutivos 2x 1,2x 3,2x 5,2x 7,... Números impares consecutivos 4x;4x 4,4x 8,4x 12,... Múltiplos consecutivos de 4 5x;5x 5,5x 10,5x 15,... Múltiplos consecutivos de 5 x x es directamente proporcional a y k y x.y k x es inversamente proporcional a y 13 Carlos David Laura Quispe Conjunto de los Números Racionales 1. Conjunto de los Números Racionales (Q) a Q / a,b ,b 0 b Nota: a/b; es una fracción. 2. Clasificación de las fracciones 3. Por sus términos: 3.1. Fracción irreductible. a ; es irreductible, si a y b son PESI. b 3 11 5 11 2 3 Ejemplo: ; ; ; ; ; 7 2 9 19 17 11 3.2. Fracción reductible. Si: a y b tienen divisores comunes. 10 8 6 25 12 8 Ejemplo ; ; ; ; ; 24 64 48 100 36 64 3.3. Fracciones equivalentes. a ak Son fracciones que tienen un mismo valor b bk 4. Por la comparación de sus términos. 4.1. Fracción propia. a ; Es una fracción propia si: b a 2 5 21 13 a b , 1 ; Ejemplo: ; ; ; b 7 11 52 50 4.2. Fracción impropia. a ; Es una fracción propia si: b a 12 22 6 38 a b , 1; Ejemplo : ; ; ; b 7 3 5 11 m An m Nota: A , fracción mixta n n 15 Formulario de Álgebra Clasificación de los Números Racionales 1. Conjunto de los Números Racionales (Q) a Q / a,b ,b 0 b Nota: a/b; es una fracción. 2. Clasificación de las fracciones 3. Por su denominador: 3.1. Fracción decimal. a : Es una fracción decimal, si: b 10n ; b múltiplo de una potencia de 10. b 3 11 5 23 2 48 Ejemplo: ; ; ; ; ; 100 1000 10 100000 104 1010 3.2. Fracción ordinaria. a a : Es una fracción ordinaria, si en: ; b 10 n ; diferente de una potencia de 10. b b 22 14 18 Ejemplo: ; ; 38 52 104 4 . Por el grupo de fracciones. 4.1. Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que tienen denominadores iguales. m q r t y ; ; ; ; ... A A A A A 3 7 27 34 56 21 35 85 Ejemplo: ; ; ; ; ; ; ; ... 11 11 11 11 11 11 11 11 2.2. Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que tienen denominadores diferentes. m q r t y ; ; ; ; ... A B C D E 1 4 11 17 23 25 19 52 Ejemplo: ; ; ; ; ; ; ; ... 3 7 10 12 39 17 23 41 16 Carlos David Laura Quispe Fracción Generatriz de un Decimal 1. Decimal Exacto: La manera de pasar este tipo de decimales a fracción es simplemente escribir una fracción cuyo numerador sea el mismo número pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . Con tantos ceros como dígitos tiene el número después de la coma, por ejemplo: a ab abc abcd 0,a ;0,ab ;0,abc ;0,abcd 10 100 1000 10000 ab abc abcd abcde a,b ;a,bc ;a,bcd ;a,bcde 10 100 1000 10000 Generalizando: abcde...xyz abcdef ...xyz 0,abcde...xyz ;a,bcdef ...xyz 10n 10n n cifras n cifras 2. Decimal Periódico 2.1. Decimal Periódico Puro. La generatriz de una fracción periódica pura, tiene como numerador al periodo y como denominador tantos nueves como cifras del periodo. a ab abc 0,aaaaaaa... ; 0,ababababab... ; 0,abcabcabcabc... 9 99 999 ab a abc a abcde ab a,bbbbbb... ; a,bcbcbc... ; ab,cdecdecde... 9 99 999 Generalizando: abcd...xyz ; abcd...xyz ab 0,abcd...xyz ab,cdef ...xyz 9999...999 9999...999 n cifras n cifras n cifras n cifras 2.2. Decimal Periódico Mixto. La generatriz de una fracción periódica mixta, tiene como numerador la parte no periódica seguida de un periodo; menos la parte no periódica. Como denominador tiene tantos nueves como cifras tiene la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. ab a abcd abc abcd abc 0,abbbbb... ;a,bcddddd ... ;ab,cdddd ... 90 900 90 Generalizando: abcd...xyzABC...XYZ abcd...xyz a,bcd...xyz ABC...XYZ 999...9999000...000 m cifras n cifras n cifras m cifras 17 Formulario de Álgebra Sistema de Números Reales Operaciones en R 1. Adición. 5. Axiomas de la Adición. Es la operación : RxR R Si : a,b,c R , entonces se cumple que: Donde a cada par a,b de números reales le A : Clausura : a b R hace corresponder la suma a+b 1 A2 : Conmutativa : a b b a A3 : Asociativa : 2. Definición de sustracción. a b c a b c A cada para a,b , de números reales le A : Elemento Neutro Aditivo. hace corresponder su diferencia denotada 4 por: a b , definida por: !0 R / a 0 0 a a A : Elemento Inverso Aditivo a b a b 5 ! a R / a a a a 0 3. Multiplicación. Es la operación: RxR R ; Donde a cada par: a,b de números reales le hace corresponder el producto: a b 6. Axiomas de la Multiplicación. Si : a,b,c R , entonces se cumple que: M 1 : Clausura : a.b R 4. Definición de División. M 2 : Conmutativa : a.b b.a La división es la operación inversa de la M 3 : Asociativa : a. b.c a.b .c multiplicación donde a cada par: a,b de M : Elemento Neutro Multiplicativo números reales le hace corresponder su 4 a !1 R / a.1 1.a a cociente denotado por a.b 1;b 0 M 5 :Elemento Inverso Multiplicativo. b 4.1. Propiedades: 1 ! a 1 R / a. a 1 a. 1 1.a ( a) a 2.(a 1 ) 1 a;a 0 M 6 : Distributiva : 3.a.0 0 a. b c a.b a.c 4. a 1(a) 5.(a).( b) ( a).(b) (a).(b) 6.a.b 0 a 0 b 0 7.a 2 b 2 a b a b 7. Axioma de la distributividad. 8.a b a c b c 9.a b a.c b.c a. b c a.b a.c 18 Carlos David Laura Quispe Teoría de Exponentes 1. Potenciación: Es la operación que consiste en repetir una cantidad llamada base, tantas veces como factor como lo indica otra llamada exponente. 2. Definición: Si : a R n an a.a.a.a.a.a.a....a n factores Donde: a Es la base; n es el exponente a n Es la n-ésima potencia 3. Leyes de signos 3.1. A 2n 3.2. A 2n 1 3.3. A 2n 3.4. A 2n 1 4. Propiedades Si : a b R;m n N 4.1.a m a n a m n a m 4.2. am n a n m n 4.3. a am n 4.4. abcd n a n .b n .cn .d n n a a n 4.5. ;b 0 b b n 4.6.a 0 1 4.7.0n 0;n 0 1 4.8.a n a n n n a b 4.9. ;a,b 0 b a 19 Formulario de Álgebra Propiedades de la Teoría de Exponentes 1. Propiedades adicionales: Si : a b R;m n N cd m 1.1.ab ab an p Donde : cd m;bm n;an p x ... 1.2..x x n x n n 1.3.Exponente Fraccionar io. m a n n am n p 1.4. b c a m b p .cn. p .am.n. p n p x p p n p 1.5. bm bmn .x x.mn x m b b p m p mn mn .m mn p 1 1.6. b b b cd 1 c d 1.7. ab a b y mz mx m x y z 1.8. b bm 1 1.9.1 x x 2 x 3 ... ;0 x 1 1 x 1.10.m aq n br p cs aq / m .br / m.n .cs / mnp q.r p / q 1.11. ar / s a p.s c c 1.12.ab b a bc bc 1.13.a a xx a 1.14.x aa x a 20 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones Exponenciales 1. Ecuaciones Exponenciales: Son aquellas ecuaciones que se caracterizan por tener la incógnita en el exponente de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia, para su resolución se utilizará la teoría de exponentes y radicales. Ejemplos: 3x 243 3 2 x 2 2 x 1 3 2 x 1 2. Propiedades. Si : a b R;m n N 2.1.a m a n a m n a m 2.2. am n a n n 2.3. am am n 2.4. abcd n a n .b n .cn .d n n a a n 2.5. ;b 0 b bn 2.6.a 0 1 2.7.0n 0;n 0 2.8.a n 1 a n n n a b 2.9. ;a,b 0 b a cd m 2.10.ab ab a n p Donde : cd m;bm n;an p 3. Equivalencias Usuales: 2 1 / 2 3.1. 2 1/ 2 1/ 2 1 / 4 3.2.2 2 1/ 4 1/ 4 1 1 1 2 1 4 3.3. 2 4 21 Formulario de Álgebra Resolución de una Ecuación Exponencial 1. Propiedades para la resolución de ecuaciones exponenciales: 1.1. Por igualdad de bases. a x a y x y a 0 a 1 1.2. Por igualdad de exponentes. a x b x a b a 0 b 0 1.3. Por igualdad de base y exponente. x a x x a a x a a 0 1 x x x ... n x n n a x a b b x y y a b x y a x b y a a a ... a x a a x a x1 / x ... x1 / x x1/ x x 2. Por analogía de sus términos. 2.1.a a n bb n a b Ejemplo: b a 0,5 a .b 22 ; Hallar: a.b b 2 2 a .ba 2 2 ab .b a 2 b a 2 2 a .b 2 ab 2 2 .ba 2 . 2 a 2 b 2 3. Pasos para resolver una ecuación exponencial. 3.1. Transformar en potencias de bases iguales. 3.2. Igualar los exponentes. 3.3. Resolver la nueva ecuación. 4. Inecuaciones Exponenciales. 4.1.Si : b f x b g x f x g x ;b 1 4.2.Si : b f x b g x f x g x ;b 1 4.3.Si : b f x b g x f x g x ;0 b 1 4.4.Si :b f x b g x f x g x ;0 b 1 22 Carlos David Laura Quispe Polinomios en R P(x) a 2 n 1 n 0 a1x a2 x ... an 1x an x n N ;a0 ;a1;a2 ;a3 ;...; an R 1. Término algebraico: Expresión algebraica que carece de las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo: 1 p(x, y, z) abx 2 y 7 z8 5 3 h(x, y, z) 3 y 4 x xy 7 2. Elementos de un término algebraico: 1 H x, y, z 3 7x12 .y 5.z9 2 1 3 7 =Coeficiente 2 x, y; z =Variables 12;5;9 = Exponentes 3. Términos semejantes: Dos o más términos son semejantes si estos contienen la misma parte variable (literal). Ejemplos: T1 (x, y, z) 21bx3 y 7 z11 T2 (x, y, z) (3 / 7)abcx3 y 7 z11 T1 T2 Son semejantes; a, b, c son constantes. 4. Valor numérico: Es el valor que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión por valores numéricos determinados: ejemplo. Ejemplos: Si: P(x) 5x2 -3, hallemos P(1). Para lo cual será necesario efectuar el siguiente cambio: x =1 en la identidad. P(1)= 5(1)2-3 P(1) 2 1 A(x, y, z) x 2 z 3 y 3 Para : x 2; y 2; z 3 1 A(2,2,3) 2 2 33 28 2 3 23 Formulario de Álgebra Grado de un Polinomios en R 1. Grado de un monomio: Ejemplo. 1 P x, y, z x10 .y12 .z 8 4 Grado absoluto: GA=10+12+8=30 Grado relativo: GR GRX=10; GRY=12; GRZ=8 GRX= grado relativo con respecto a x. 2. Grado de un polinomio: Ejemplo. T x, y, z x 6 .y 3 2.x3 .y 7 .z11 y 4 9 21 4 GA de términos el > de 9, 21 y 4 GA=21 Grados relativos: GRX=6; GRY=7; GRZ=4 3. Cambio de Variable: Las variables de una expresión pueden ser sustituidas por cualquier otra variable o expresión. Veamos un ejemplo: Si: P(x) 2x-1 Q(x) x +1, hallemos P[Q(x)]. Para lo cual debemos sustituir : x por Q(x) en P(x): P(x) 2x-1. Reemplazando P[Q(x)] 2Q(x)-1 pero Q(x) x+1. Ahora: P[Q(x)]= 2(x + 1) –1 2x+1 4. Observaciones: Tener en cuenta lo siguiente: 4.1. Todo número real es un polinomio, al cual se le podrá denominar: constante polinómica o constante monómica. 4.2. Todos los polinomios tienen un grado definido a excepción del polinomio cero (idénticamente nulo) para el cual el grado no se encuentra definido. 4.3. A todo polinomio se le podrá asignar un nombre particular, este nombre dependerá de la cantidad de términos que presente. P(x) 5x7; 1 término se le llama “Monomio”. P(x) 3x2– 2 ; 2 términos se le llama “Binomio”. P(x) x3 –5x +1; 3 términos se llama “Trinomio”. 24 Carlos David Laura Quispe Operaciones con Polinomios en R 1. Operaciones con Polinomios Si: P(x) ; es un polinomio de grado "m" , y Q(x) es un polinomio de grado "n" , con m n Operación Notación Grado resultante Adición P(x) Q(x) m Sustracción P(x) ( Q(x)) m P(x)xQ(x) m n Multiplicación P(x) División m n Q(x) Radicación k P(x) m / k 2. Polinomios importantes: 2.1. Polinomio homogéneo: Polinomio que tiene todos sus términos del mismo grado. Ejemplo. P(x) x 3 y 7 3x5 y 5 2x8 y 2 2.2. Polinomios idénticos: ( ) : Dos polinomios reducidos del mismo grado y con las mismas variables, serán idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes en ambos son iguales. Ejemplo. P(x) ax3 bx2 cx d;Q(x) Ax3 Bx 2Cx D P(x) Q(x) a A;b b;c C d D 2.3. Polinomio idénticamente nulo: ( 0) Todo polinomio reducido, e idénticamente nulo debe tener todos sus coeficient es iguales a cero, sea: P(x, y) Ax4 Bx3 y Cx6 y8 Dy 20 ; P(x, y) 0 A B C D 0 2.4. Polinomio ordenado: Aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable sólo aumente o disminuye en cada término: P(x, y) x 7 y x 4 y 2 xy5 Es ordenado en forma decreciente con respecto a x. Es ordenado en forma creciente con respecto a x. 2.5. Polinomio completo: Aquel polinomio que tiene al menos una variable en todos sus términos que posee todos los exponentes naturales desde el número mayor hasta el exponente cero. Ejemplo. P(t) 4t 6 t 5 3t 4 7t 3 t 2 t 1; N º tér min os GR 1;Gtk Gtk 1 1 Coeficientes P(1);Ti P(0) 2.6. Polinomio Mónico: Un polinomio de una variable esmónico si y sólo si su coeficiente principal es la unidad: P(r) r 4 3r 3 9r 20 25 Formulario de Álgebra Raíz Cuadrada de Polinomios 1. Procedimiento: 1.1. Se ordena, completa y se agrupan de dos en dos los términos, empezando por el último con respecto a la letra ordenatríz. 1.2. Se extrae la raíz cuadrada del primer término, el cual representa el primer término de la raíz. 1.3. Se eleva al cuadrado el término obtenido, se le cambia de signo y se suma el polinomio dado, eliminándose la primera columna. 1.4. Se bajan los dos términos del siguiente grupo para hallar el segundo término de la raíz. Se divide el primer término de los bajados entre el doble del primer término de la raíz hallada con su propio signo y todo se multiplica por el mismo con signo cambiado, los términos obtenidos se escriben debajo de sus semejantes de los que han sido bajados. 1.5. Así se continúa dividiendo siempre el primer término del residuo entre el doble del primer término de la raíz hallada; hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz de un polinomio idénticamente nulo. Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada del siguiente polinomio: P(x) 9x4 12x3 49 28x 38x2 Solución: P(x) es de grado par. Grado de la raíz: 4º 2º 2º Grado del resto: r º – 1 = Rº = 1º Primero ordenamos al polinomio en forma decreciente: 9x 4 12x3 38x2 28x 49 3x 2 2x 7 9x 4 1º raíz 9x 4 3x 2 12x3 38x2 (3x 2 )2 9x 4 3 12x3 4x 2 12x 2º raíz 2x 2(3x 2 ) 42x 2 28x 49 2 2(3x 2) 2x ( 2x) 42x 28x 49 56x 98 42x 2 3º raíz 7 2(3x 2 ) 2(3x2 2x) 7 ( 7) 26 Carlos David Laura Quispe Productos Notables 1. Trinomio cuadrado perfecto: (TCP) 2. Identidades de legendre: (a b)2 a 2 2ab b2 (a b)2 (a b)2 2(a 2 b2 ) (a b)2 a 2 2ab b2 (a b)2 (a b)2 4ab 3. Desarrollo del binomio de Newton: 4. triángulo de Pascal o Tartaglia: n n (a+b)0= 1 (x a) n xk an k (a+b)1= 1 1 k 0 k (a+b)2= 1 2 1 (a+b)3= 1 3 3 1 n n n n (a b) a an 1 n b ... bn (a+b)4= 1 4 6 4 1 0 1 n (a+b)5 1 5 10 10 5 1 … … 5. Diferencia de cuadrados: 6. Generalizando: (a b)(a b) a 2 b 2 (an bn )(a n bn ) a 2n b 2n 7. Des arrollo del cubo de un binomio: (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3 (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3 9. Equivalencias: 8. Equivalencias de Cauchy. (a b)3 (a b)3 2a(a 2 3b 2 ) (a b)3 a3 b3 3ab(a b) 3 3 2 2 (a b)3 a3 (a b) (a b) 2b(3a b ) b3 3ab(a b) 27 Formulario de Álgebra Productos Notables Especiales 1. Suma y diferencia de cubos: a b a 2 ab b2 a3 b3 a b a 2 ab b2 a3 b3 2. Generalizando. an bn a 2n anbn b 2n a3n b3n an bn a 2n anbn b 2n a3n b3n 3. Productos de Stevin: x a x b x 2 a b x a.b x a x b x 2 a b x a.b x a x b x 2 a b x a.b ax b cx d acx2 ad bc x b.d ax b cx d acx2 ad bc x b.d ax b cx d acx2 ad bc x b.d x a x b x c x3 a b c x 2 a.d a.c b.c x a.b.c 4. Equivalencias de Argand: a 2m ambn b 2n a 2m a mbn b2n a 4m a 2mb 2n b 4n 5. Identidades de Lagrange. a 2 b 2 x 2 y 2 ax by 2 ay bx 2 a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 ax by cz 2 ay bx 2 az cx 2 bz cy 2 6. Equivalencias Adicionales. a b b c a c a.b.c a b c a.b b.c a.c ab a b b.c b c a.c a c a b b c a c 2a.b.c 7. Equivalencia de GAUSS. a 3 b3 c3 3.a.b.c a b c a 2 b2 c 2 (a.b b.c a.c) 28 Carlos David Laura Quispe Productos Notables de un Trinomio al Cuadrado 1. Trinomio al cuadrado: a b c 2 a 2 b 2 c 2 2.a.b 2.a.c 2.b.c a b c 2 a 2 b2 c 2 2.a.b 2.a.c 2.b.c a b c 2 a 2 b2 c 2 2.a.b 2.a.c 2.b.c También: a b c 2 a 2 b2 c 2 2 a.b a.c b.c 2. Trinomio al cubo: a b c 3 a3 b3 c3 3.a.b a b 3.b.c b c 3.a.c a c 6.a.b.c a b c 3 a3 b3 c3 3 a b b c a c a b c 3 a3 b3 c3 3 a b c a.b b.c a.c 3.a.b.c a b c 3 3 a b c a 2 b2 c 2 2 a 3 b3 c 3 6.a.b.c 3. Observación: Para la resolución de algunos ejercicios será necesario tener en cuenta a estas dos relaciones . a b 2 b c 2 a c 2 a 2 b2 c 2 a.b b.c a.c 2 a b 2 b c 2 a c 2 a 2 b2 c 2 a.b b.c a.c 2 4. Observación: n N ; cumple que: a b 2 n b a 2n a b an 1 an 2 .b an 3.b 2 an 4 .b3 ... a.bn 2 bn 1 an bn , n Z a b a n 1 a n 2 .b a n 3 .b 2 a n 4 .b 3 ... a.bn 2 bn 1 a n bn , n Z impar. 29 Formulario de Álgebra Productos Notables Condicionales 1. Equivalencias condicionales: Si : a b c 0 ; Entonces se cumple: 1.1.a 2 b2 c 2 2 a.b b.c a.c 1.2.a 3 b3 c3 3.a.b.c 1.3. a.b a.c b.c 2 a 2 .b 2 a 2 .c 2 b 2 .c 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a 2 b2 c 2 1.4.a b c 2 a .b a .c b .c 2 1.5.a5 b5 c5 5a.b.c a.b a.c b.c 1.6.a6 b6 c 6 3 a.b.c 2 2 a.b b.c a.c 3 a 2 b 2 c 2 a5 b5 c 5 1.7.a7 b7 c 7 7.a.b.c a.b a.c b.c 2 5 1.8.a 2 b 2 c 2 a.b a.c b.c ; Donde: a,b, c R ; se demuestra que: a b c cons tan te 2. Casos especiales en R. 2.1.a 2 b 2 c 2 ... n2 0 Será posible sólo sí: a b c ... n 0 Si : a b c ... n 0 Será posible sólo sí: a b c ... n 0 En general: Si : a 2n b2n c 2n ... m2n 0 2n a 2n b 2n c ... 2n m 0 Donde: n N ; es posible sólo sí: a b c ... m 0 30 Carlos David Laura Quispe División de polinomios 1. División Algebraica. 1.1. División Exacta. Dados dos polinomios f x y g x de grados no nulos se dirá que f x es divisible por g x si existe un único polinomio h x , tal que se verifique la identidad de división exacta. f (x) Es divisible por g(x) !h(x); f (x) g(x).h(x) 1.2. División inexacta. Dados los polinomios D(x) y d(x) de grados positivos. La división denotada por D(x) d(x) o D(x) es una operación algebraica que consiste en hallar otros dos únicos polinomios q(x) y d (x) R(x), tal que: D(x) d (x).q(x) R(x) Donde: D(x)= Polinomio dividendo D(x)= Polinomio divisor Q(x)= Polinomio cociente R(x)= Polinomio residuo ¡…Importante…! D(x) d (x) 1 R(x) d (x) R(x) 0 1.3. Teorema del factor. Un polinomio p x de grado no nulo se anula para x p(x) es divisible por x ; luego x es un factor de p x 2. Criterio general para dividir. Para dividir dos polinomios D(x) dividendo y d(x) divisor, ambos deben ser completos y ordenados respecto a su misma variable x, generalmente en forma decreciente. Es decir, esta variable deberá presentar todos sus exponentes desde el mayor hasta el exponente uno; además del término independiente. En caso contrario colocar un cero a cada polinomio deberá ordenarse en forma decreciente y por cada término que faltase. 3. Propiedades de grado. q x D x d x Si R x 0 , entonces: Máximo R x d x 1 - 1 31 Formulario de Álgebra Teoremas de la División de polinomios 1. Teoremas. 1.1. Teorema 1: Si: f x es divisible por g x y g x es divisible por h x , entonces f x es divisible por h x . 1.2. Teorema 2: Si f x y g x son divisibles por h x , la suma y la diferencia de f x g x son divisibles por h x . 1.3. Teorema 3: Si: f x es divisible por g x , el producto de f x por cualquier otro polinomio no nulo h x es también divisible por g x . 1.4. Teorema 4: Si: el polinomio p x es divisible separadamente por los binomios x a , x b y x c / a b c , entonces: p x es divisible por el producto: x a x b x c . 1.5. Teorema 5: Si: al dividir un polinomio p x entre x a , x b y x c / a b c , en forma separada deja el mismo resto en cada caso, entonces al dividir dicho polinomio entre x a x b x c dejará el mismo resto común. Así: p x x a R1 x R p x x b R2 x R p x x c R3 x R p x x a x b x c R x R 2.Propiedades generales de la división de polinomios. 2.1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: Qº Dº d º 2.2. El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su máximo grado es una unidad menor que el grado del divisor (a excepción de los polinomios homogéneos): Rmax d º 1 2.3. El término independiente del dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente más el término independiente del residuo. TI D TI D xTI Q TI R 2.4. En la división de dos polinomios homogéneos el cociente y el residuo también son polinomios homogéneos, pero el grado absoluto del dividendo es igual al grado absoluto del residuo. GAdividendo GAresto 32 Carlos David Laura Quispe División de Polinomios: Método de Horner 1. Método de Willian G. Horner. Este es un método general para dividir polinomios. Consideremos los polinomios completos y ordenados D(x) a x4 a x3 0 1 a2x2 a3x a4 d (x) b 2 0x b1x b2 Donde: a0 0 y b0 0 La disposición del esquema es el siguiente: c o e f ic ie n te d e D x coef. b0 a0 a1 a2 a3 a4 b de 1 b2 d x q0 q1 q2 r0 r1 c o e f . d e q x c o e f . d e R x Q(x) q0 x2 q1x q2 y, R(x) r0 x r ¡…Importante…! a. El primer coeficiente del divisor d(x) mantiene su signo, los demás coeficientes van con signo cambiado. b). La línea (punteada) verticales que separa los coeficientes del cociente con los coeficientes del resto, se traza contando desde el último coeficiente del dividendo, un número de espacios igual al grado del divisor. En nuestro ejemplo 0 d x 2 , luego 2 coeficientes del dividendo quedan a la derecha la línea vertical. coef .de.q(x) :Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. coef .de.R(x) :Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar la columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes. 33 Formulario de Álgebra División de Polinomios: Método de Ruffini 1. Regla de Paolo Ruffini. Es un caso particular del método de Horner. Se aplica para dividir un polinomio D(x) entre un divisor que tenga o adopte la forma lineal. d (x) Ax B; A B Sean los polinomios: D(x) a x4 0 a1x 3 a2x2 a3x a4 c o e fic ie n te d e D x Ax +B=0 a0 a1 a2 a3 a4 B x A A a0 b1 b2 b3 b4 q0 q1 q2 q3 R e s to c o e f . d e q x d (x) Ax B 2. Pasos a seguir. (a0, a1, a2, a3 y a4) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable. B : Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. A (a0, b1, b2, b3 y b4)Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el B coeficiente anterior se ha multiplicado por ( ), y colocado en la siguiente columna. A (r0 y r1)Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna ¡…Observación importante…! Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor. 34 Carlos David Laura Quispe División de Polinomios: Teorema del Resto 1. Teorema del resto. El objetivo es hallar el resto de una división sin efectuarla. En toda división la forma P(x) Ax B , el residuo es igual al valor numérico de P(x) cuando B x A Es decir: P(x) B resto p Ax B A Ejemplos: P x R P 2 x 2 P x 1 R P 2x 1 2 p x R P 3 2 x 3 2 P(x) 2 R P 3x 2 3 P(x) R P 7 5 x 5 7 2. Regla práctica para calcular el resto de una división. 2.1. El divisor se iguala a cero. 2.2. Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable. 2.3. La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarla luego se realizan las operaciones indicadas y obtenemos el resto. 35 Formulario de Álgebra División de Polinomios: Casos Especiales 1. Artificios sobre división de polinomios. 1.1. Artificio 1.Considere el siguiente ejemplo: Ax5 Bx4 Cx3 27x 2 19x 5 4x3 3x 1 Calcular A, B y C, si la división es exacta. Notemos que las incógnitas aparecen al inicio y aplicar directamente el método de HORNER el trabajo se haría engorroso. Entonces podemos ordenar y completar tanto el dividendo como el divisor en forma creciente y, lograremos que las incógnitas aparezcan ahora al final y los coeficientes numéricos al comienzo es decir: 5 19x 27x 2 Cx3 Bx 4 Ax5 1 3x 0x 2 4x3 Finalmente aplicamos el método de HORNER. 1.2. Artificio 2.Considere el siguiente ejemplo: mx 4 nx3 px2 6x 6 ; Cuyo resto es: 5x 8 2x 2 5x 2 La suma de coeficientes del cociente es 4. “Al dividendo le restamos el residuo y efectuamos por HORNER, pero con los términos dispuestos al revés. Con la salvedad que ahora el residuo será cero. 2 11x px2 nx3 mx4 2 5x 2x2 Finalmente aplicamos el método de HORNER. 36 Carlos David Laura Quispe Cocientes Notables 1. Cocientes Notables. Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de división. Se obtienen de divisiones indicadas que presentan la forma: xn an ; Donde “x” y “a”, son términos del divisor. x a 2. Estudio de los casos de los cocientes notables. xn an xn an xn a n xn an (a). ; (b). ; (c). ; (d). x a x a x a x a (b) no es cociente notables pues: Calculo del resto x a 0 x a R a n a n R 2a n 0 Veamos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. 3. Casos. Según la combinación de signos se puede analizar 4 casos, dando en cada caso un C.N. ya sea entero o completo. xn an q(x) r(x) 0 ; q(x) Cociente entero x a xn an r(x) q(x) x a x a r(x) r(x) 0;q(x) x a cociente completo 4. Condición necesaria y suficiente para obtener un cociente notable: x m an m n De : r;r ; Además r: indica el número de términos del cociente x p a q p q notable. 37 Formulario de Álgebra Cocientes Notables: Término General 1. Fórmula del término general: xn an De: ; Un término de lugar k (término cualquiera) de q(x) . Viene dado por la x a relación: Tk signo xn k a k 1 ; x Primer término del divisor. a Segundo término del divisor. n # de términos de q(x) 1.1. Regla para determinar el signo. a). Si: d (x) x a ; Todos los términos del cociente notable son positivos. b). Si: d (x) x a ; Se tiene. + Los de lugar impar y - Los de lugar par. ¡….Importante…! Si lo que tú quieres es hallar un término de lugar k cualquiera, contando del término final, entonces utiliza lo siguiente:T signo xk 1 a n k k Por lógica se tendrá que para determinar el signo cuando: d (x) x a + Los de lugar par y - Los de lugar impar. xn a n 2. Término central: x a (a). Si: n , es impar, entonces el único término central estará dado por: n 1 n 1 T T 2 2 c k Tn 1 Signo .x .a 2 (b). Si n es par: hay dos términos centrales. n n 2 Tc1 Tk Tn Signo .x 2 .a 2 2 n 2 n Tc2 Tk Tn 2 Signo .x 2 .a 2 2 2.1 Regla para el signo: (a). Cuando el divisor es de la forma: x a ; todos son positivos. (b). Cuando el divisor es de la forma: x a ; puede ocurrir. k N º impar k N º par 38 Carlos David Laura Quispe Cocientes Notables: Forma Abreviada 1. Deducción de los cocientes notables. xn an 2. Primer caso: Forma: x a Cociente Notable (CN) CN expresado con notación sumatoria n n k k 1 x n 1 x n 2a x n 3a 2 x n 4a 3 ... a n 1 x a ; n k 1 xn an 3. Segundo caso: Forma: x a Cociente Notable (CN) CN expresado con notación sumatoria n k 1 n k k 1 x n 1 x n 2a x n 3a 2 x n 4a 3 ... xa n 2 a n 1 ( 1) x a ; n;impar k 1 xn an 4. Tercer caso: Forma: x a Cociente Notable (CN) CN expresado con notación sumatoria xn 1 xn 2a xn 3a 2 xn 4a3 ... xa n 2 a n 1 n ( 1) k 1xn k a k 1 n; par k 1 xn an 5. Tercer caso: Forma: x a Cociente Notable (CN) CN expresado con notación sumatoria n n n x n 1 x n 2a x n 3a 2 x n 4 a 3 ... xa n 2 2a a n 1 n k k 1 2a x a ; n x a k 1 x a No es cociente notable 39 Formulario de Álgebra Factorización 1. Polinomio primo: Aquel divisible sólo por 2. MCD y MCM de polinomios: Sean sí mismo y la unidad. P(x, y) Q(x, y) dos polinomios factorizados. P(x, y) x y 2 2 P(x, y) 2x y 4 x y x 1 3 T (x) x 1 2 P(x, y) 2x y 2 x 2 y x 1 4 H (t) t 9 Determine el MCD y MCM. MCD: producto de factores comunes con su menor exponente. MCD: 2x y 2 x 1 1 3. Factorización: Transformación de un MCM: producto de factores comunes con su mayor polinomio en una multiplicación indicada de exponente. factores primos en un campo numérico. MCM: 2x y 4 x y x 1 4 x 2 y (x 1)(x 1)(x 2) x 3 2x 2 x 2 Métodos de Factorización 4. Método del factor común: Este método consiste en aplicar en sentido inverso la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción, cuando todos o algunos de los términos del polinomio tienen un factor común, así: na nb nc nd ... nz n a b c d ... z n= Factor común, n puede ser un polinomio de dos o más términos. 5. Método de las identidades: En estos casos debe tenerse en cuenta los diferentes casos vistos en productos notables. a 2n b2n an bn an bn a3n b3n an bn a 2n an .bn b2n a3n b3n an bn a 2n an .bn b2n 2 a 2n 2anbn b2n an bn a 2n 2 2anbn b 2n an bn a 4 a 2b 2 b4 a 2 a.b b2 a 2 a.b b 2 40 Carlos David Laura Quispe Factorización: Aspa Simple y Aspa Doble 1. Método del aspa simple: Es empleado cuando la expresión es de la forma. P x; y Ax2m Bxm yn Cy2n A1x m C1yn A m n 2x C2 y Debe cumplirse: A xm 1 A m 2m 2 x Ax A m n m n m n n n 2n 1x C2 y A2x C2 y Bx y C1y C2 y Cy Los factores se toman en forma horizontal: P x; y A1xm C1yn A xm C yn 2 2 2. Método del aspa doble: Este método se utiliza en polinomios que tengan la forma: P(x, y) Ax2m Bxm .y n Cy 2n Dx Ey F P(x, y) Ax2m Bxm .y n Cy 2n Dx Ey F m n A1x C1x F1 m n A2 x C2 x F2 Debe cumplirse: I. A xm C n m n m n 1 2 y A2 x C1 y Bx y II. C n n n 2 y F2 C2 y F1 Ey III. A xm F A xm F Dxm 1 2 2 1 Luego los factores se toman en forma horizontal: P x; y A xm C yn F m n 1 1 1 A2x C2 y F2 41 Formulario de Álgebra Factorización: Aspa Doble Especial 1. Aspa doble especial. Este criterio se utiliza para factorizar polinomios de 5 términos y generalmente de una variable, que presenta la forma: P(x) Ax 4n Bx3n Cx 2n Dxn E Procedimiento Adecuamos el polinomio a la forma general; en caso faltase uno o más términos, estos se completan con ceros. Se descomponen convenientemente los extremos, se multiplica en aspa y se suma los productos obtenidos. Se compara el resultado anterior con el término central (Cx2n) del polinomio, y lo que falta para que sea igual a éste, será la expresión a descomponer en partes centrales de los nuevos factores. P(x) Ax 4n Bx3n Cx 2n Dxn E 2n n A1x C1x E1 2n n A2 x C1x E2 Se tiene: A x2n 1 E2 A2 x2n E1 Se debe tener: Cx2n Falta: Cx2n (A 2n 2n 1E2 A2E1)x Fx Deben verificarse las aspas simples (I) y (II) del esquema anterior Los factores se toman en forma horizontal P x A x2n F xn 1 1 E A x2n n 1 2 F2 x E2 En caso que estos no sean primos se factorizan por aspa simple. 42 Carlos David Laura Quispe Factorización Divisores Binomios 1. Método de los divisores binomios o evaluación binómica. Dado el polinomio P(t). P(t) ant n a n 1 n 2 n 1t an 2t ... a0 Si : a R; P(t) 0; Entonces : t a ; es un factor de P(t) Luego: P(t) t a Q t ; se obtiene con la regla de RUFFINI, procedimiento para factorizar. 1.1. Determinar las posibles raíces racionales (PRR), están dadas por: divisores a P.R.R. n divisores a0 1.2. Deduces el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el teorema de divisibilidad algebraica. 1.3. El otro factor lo determinas utilizando el método de RUFFINI, el cual emplearas tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general te recomiendo llevarlo hasta un cociente de cuarto grado para poder aplicar aspa doble especial, o de segundo grado para aplicar el aspa simple. 1.4. Cuando los términos del polinomio son positivos, solamente pruebas los valores negativos. Ejemplo. B(x) x 5 5x 4 7x 3 x 2 8x 4 Posibles Ceros: 1; 2; 4 Sin embargo el polinomio se anula para: x 1; x 2; x 1 43 Formulario de Álgebra Factorización Aspa Triple 1. Aspa Triple: Se emplea para factorizar polinomios que estén en función de 3 variables y que tengan 10 términos, de la forma: P(x, y, z) ax2 bx y c y2 d yz ez2 f xz g x hy i z j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a1x c e 1 y 1z j1 e z j a2 x c2 y 2 2 Debe cumplirse: a1x.c1 y a2 .c2 y bxy c1 y.e2 z c2 y.e1z dyz e1z. j2 e2 z. j1 iz a1x.e2 z a2 x.e1z fxz c1 y. j2 c2 y. j1 hy a1x. j2 a2 x. j1 gx Ejemplo: Factorizar. 3x2+2y2+5z2+7xy–16xz–7yz–x–7y+19z– 4 SOLUCIÓN: Ordenando el polinomio: 3x2+7xy +2y2–7yz–16xz+5z2–x–7y+19z–4 3x y z 4 x 2y 5z 1 Se cumple que: 3x.2 y x.y 7xy; y. 5z 2 y. z 7 yz; z.1 5z. 4 19z 3x. 5z x. z 16xz; y.1 2y. 4 7 y;3x.1 x. 4 x Finalmente los factores se toman en forma horizontal: (3x y z 4)(x 2 y 5z 1) 44 Carlos David Laura Quispe Factorización Método de los Artificios 1. Cambio de Variables: Consiste En buscar expresiones iguales, directa o indirectamente a través de ciertas transformaciones para luego proceder a un cambio de variable que permitirá transformar una expresión aparentemente compleja en otra más simple. Ejemplo 1: Factorizar: (x + 1)(x – 2)(x + 2)(x + 5) – 13 Solución: Asociando adecuadamente: [(x + 1)(x + 2)][(x – 2)(x + 5)] – 13 [x2 + 3x + 2][x2 + 3x – 10] – 13;Cambio de variable: x2 + 3x = ( + 2)( – 10) – 13 = 2 – 8 – 20 – 13 2 – 8 – 33 = ( – 11)( + 3) Reemplazando: = x2 + 3x (x2 + 3x – 11)(x2 + 3x + 3) 2. Artificio de “QUITA Y PON” o reducción a diferencia de cuadrados: Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas reducciones logres formar un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de ésta situación se forma una diferencia de cuadrados. Ejemplo1: Factorizar: P(x) = x4+ 2x2 + 9 Solución: P(x) = x4+ 2x2 + 9 P(x) x 4 2x 2 9 x4 2(x2 ) 9 3 Doble producto = 6x2 Como se tiene sólo 2x2, para conseguir 6x2, se suma y se resta 4x2; así: P(x) = x4 + 2x2 + 9 + 4x2 – 4x2 P(x) x4 6x2 9 4x2 (x2 3)2 2 2 2 2 2 P(x) (x 3)2 (2x)2 P(x) (x 3 2x)(x 3 2x) P(x) (x 2x 3)(x 2x 3) 3. Suma y restas especiales: Consiste en sumar y restar una o varias expresiones en forma conveniente de tal modo que se formen uno de los trinomios: (x2 x 1) ó (x2 x 1) , diferencia de cubos: (x3 1)(x3 1) . Algunas veces se forma trinomios de la forma: (x2 x 1) ó (x2 x 1) . Ejemplo1: Factorizar: F(x) = x5+x+1 Solución: Sumar y restar x2: F(x) = x5 + x + 1 + x2 – x2 F(x) = x5 + x2 – x2 + x + 1 Agrupando en forma conveniente: F(x) = (x5 – x2) + (x2 + x + 1) F(x) = x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) F(x) = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) F(x) = (x2 + x + 1)[x2(x – 1) + 1] F(x) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) 45 Formulario de Álgebra Fracciones Algebraicas 1. Fracción Algebraica Racional. Es el conjunto de cocientes de dos P(x) polinomios P(x);Q(x) ,es decir: ; es una fracción algebraica. Q(x) El grado de Q(x) 1; Q(x) 0 2. Clases de Fracciones Algebraicas 2.1. Fracciones Homogéneas. Tienen el 3. Simplificación de F. A. mismo denominador: Factorizamos tanto el numerador como el Ejemplo: denominador y, suprimimos factores comunes. P(x) T (x) R(x) P(x) R(x) P(x) ; ; Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) R(x) Q(x) 2.2. Fracciones Heterogéneas. Tienen Ejemplo: distinto denominador: Ejemplo: x 2 25 (x 5)(x 5) P(x) T (x) R(x) x 5 ; ; x 5 (x 5) Q(x) S(x) F (x) 2.3. Fracción Propia. Cuando el grado del 4. Fracciones Algebraicas Equivalentes: denominador es menor que el grado del Si: denominador: Ejemplo: P(x) R(x) 4x 20 y Q(x) S(x) x 4 x 2 10 2.4. Fracción Impropia. Cuando el grado del Estas fracciones son equivalentes. numerador es mayor que el grado del denominador. P(x) S (x) Q(x) R(x) Ejemplo: 10x5 x 2 x 8 46 Carlos David Laura Quispe Operaciones con Fracciones Algebraicas 1. Operaciones con Fracciones 2. Adición y sustracción. 2.1. Fracciones homogéneas. P(x) R(x) P(x) R(x) Q(x) Q(x) Q(x) 2.2. Fracciones heterogéneas. P(x) R(x) P(x).S(x) R(x).Q(x) ; MCM: Q(x).S (x) Q(x) S(x) Q(x).S(x) 3. Multiplicación. P(x) R(x) P(x) R(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) Donde: P(x) R(x) y ; son fracciones simplificadas. Q(x) S(x) 4. División.se transforma la división en multiplicación de fracciones. P(x) R(x) P(x) S(x) P(x) S(x) Q(x) S(x) Q(x) R(x) Q(x) R(x) O también: P(x) P(x) R(x) Q(x) Q(x) S(x) R(x) S(x) 47 Formulario de Álgebra Fracciones Parciales 1. Primer caso. P(x) A B C (ax b)(cx d )(ex f ) ax b cx d ex f 2. Segundo caso. P(x) A B C D (ax b)2 (cx d )(ex f ) ax b (ax b)2 cx d ex f Generalizando: P(x) a1 a2 a3 a ... n ;Gr P(x) n 1 (x a)n x a (x a)2 (x a)3 (x a)n 3. Tercer caso. P(x) Ax B C (ax 2 bx c)(dx e) ax 2 bx c dx e 4. Cuarto caso. P(x) Ax B Cx D E (ax 2 bx c)2 (dx e) ax 2 bx c (ax 2 bx c)2 dx e Generalizando: P(x) Q1 (x) Q2 (x) Q ... n (x) (ax 2 bx c) n ax 2 bx c (ax 2 bx c)2 (ax2 bx c)n Gr P(x) 2n ;Gr(Q1 ),Q2 (x),...,Gr(Qn ) 1 48 Carlos David Laura Quispe Radicación en R 1. Definición: Si : n Z ;a,b R n a b bn a Donde: n = es el índice del radical a = es el radicando b = es la raíz n-ésima de a nota: si n es par entonces a 0 2. Definición de exponente fraccionario a m / n m n a n a m 3. Leyes de signos 3.1.1. par A R 3.1.2. impar A R 3.1.3. impar A R 3.1.4. par A # imaginario 4. Radicales equivalentes principio fundamental: n am mk amk n am m / k am / k 4.1. Radicales homogéneos: Son de igual índice. Ejm. 7 2, 7 10, 7 25 4.2 Radicales semejantes: Son de igual índice e igual cantidad sub radical. Ejm. 24 2; 104 2;84 2 4.3. Operaciones con radicales: 4.3.1. Adición y sustracción solo para radicales semejantes 4.3.2. Multiplicación y división solo para radicales homogéneos 49 Formulario de Álgebra Propiedades de la Radicación en R 1. Propiedades: Si : a,b, m n R;m, n 0 ; entonces se cumple que: 1.1.n a.b n a .n b a n a 1.2.n ,b 0 b n b 1.3.m n p a mnp a 1.4..m an m / k a n / k q.r p / q 1.5. ar / s a p.s 1.6. n a m n a m p 1.7. n a m n a m. p 1.8.m aq n p br c s aq / m .br / m.n .cs / mnp m a n b p c mnp 1.9. x x x x(an b) p c m nm 1 n 1.10.n an an an a...n a a n 1 m radicales 1.11.m an m an m an ... m 1 a n 1.12.m an m a n m an ... m 1 an bc 1.13.a b c a 1.14.a bc bc a q.r p / q 1.15. ar / s a p.s p 1.16. n a m n am. p c 1.17. a xb a xb.c 50 Carlos David Laura Quispe Propiedades de la Radicación en R Propiedades Adicionales 1. Propiedades adicionales I. . . . x . 1.1..x x n x n n . . . a . b b a 1.2..a b b 1.3.. x x x . . . . . . x 2n 2 n 1 x . . x . . x x x 1.4..x x x 0 x e 2. Propieddaes adicionales II nm 1 2.1.n m xn xn xn x...n x n x n 1 m veces nm 1 m 2.2.n x n x n x n x ... n x n x n 1 ;m par m veces nm 1 m 2.3.n x n x n x n x ... n x n x n 1 ;m impar 2.4. a a 1 a a a a 1 ... a 1 1.5. a a 1 a a a a 1 ... a 1 4a 1 2.6. a a a a a ... 2 1 4a 1 2.7. a a a a a ... 2 51 Formulario de Álgebra Radicales Dobles 1. Radicales Dobles. 1.1. Primer Caso. Tienen la forma: A B Donde: (A B Z ) En algunas ocasiones es necesario expresar un radical doble como la suma de dos radicales simples (es decir A B ) el proceso mediante la cual esto es llevado a cabo se llama transformación de radicales dobles a simples. Nos preguntamos cuando es posible descomponer un radicaldoble en la suma de dos radicales simples, el siguiente teorema establece para que esto sea posible. 2 2 Donde: C A B ó A2 B Además: A2 B (Cuadrado perfecto) Observación: no olvidar que A, B y C son racionales. 2. Método Práctico. Forma: P 2 Q P 2 Q a b ;a b Donde: P a b Q a x b Ejemplo: Transformar el radical doble a radicales simples: 3 8 Solución: 3 C 3 C 3 8 ; Luego: C 32 8 1 C 1 2 2 3 1 3 1 3 8 2 1 2 2 Ejemplo: Transformar el radical doble a radicales simples. 5 2 6 5 2 6 3 2 3 2 3x 2 52 Carlos David Laura Quispe Casos de Radicales Dobles 1. Segundo Caso. A B C D Se transforma en: A B C D x y z ( A B C D ) 2 ( x y z ) 2 A B C D x y z 2 x.y 2 x.z 2 y.z Por igualdad de las partes racionales e irracionales. x y z A 2 x.y B 2 x.z C 2 y.z D Como el sistema tiene 4 ecuaciones y 3 incógnitas se resuelven las 3 últimas ecuaciones y los valores encontrados deben verificar la primera ecuación. En forma práctica: (x y z) 2( x.y x.z y.z ) ( x y z )2 x y z 2. Tercer Caso. 3 A B ; Se transforma en: 3 A B x y Uno de ellos (x y ) , es necesariamente racional. Para calcular "x" " y"se resuelve el siguiente sistema. 4x3 3Cx A y x 2 C Donde: C 3 A2 B ; C= raíz exacta X, se calcula por tanteo. 53 Formulario de Álgebra Racionalización 1.Racionalización: Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo denominador no tenga cantidades afectadas por radicales. Generalmente se realiza la racionalización del denominador de una fracción: pero en algunos casos es necesario racionalizar también su numerador. Al factor que convierte al denominador de la fracción de irracional en racional se le llama FACTOR RACIONALIZANTE. Casos Casos Expresión a Factor Racionalizante (F.R.) Resultado Racionalizar N f a a NFR f a a N n a n a n 1 NFR f f n a a N n r n n r NFR f a a f n ar a N NFR f a b a b f a b a b N f a b a b NFR f a b a b N 3 a 3 b 3 a 2 3 ab 3 f b2 NFR f 3 a 3 b a b N 3 f a 3 b 3 a 2 3 ab 3 b 2 NFR f 3 a 3 b a b Caso Factor Racionalizante Resultado N n an 1 n f an 2 .b ... n bn 1 NFR f ; n impar n a n b a b N n an 1 n an 2 .b ... n bn 1 NFR f f ; n par n a n b a b N n n 1 n f a an 2 .b ... n bn 1 NFR f ; n par o impar n a n b a b 54 Carlos David Laura Quispe Factoriales 1. Factoriales: El factorial de “n” se define como el producto desde la unidad en forma consecutiva, hasta el número dado. 2. Notación. Símbolos que se utilizan: n! n ; Se lee: “Factorial de n” n! = n(n–1)(n–2) (n–3)…1 , n N Ejemplo: 0! = 1 (convención) 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 3. Observación: El factorial de un número negativo no existe. ( 3)! No existe ( 5)! No existe 1 ( )! No existe 4 ( 3)! No existe (1 2)! No existe 4. Importante: Por convención: 0! 1; por definición: 1! 1 n 1 ! Sabemos: n! n 1 n 1 ! n! n 1 1 1 ! 2! 1.2 Si : n 1 1! 1 1 1 2 2 0 1 ! 1! 1 Si : n 0 0! 1 0 1 1 1 Ojo: 0! 1! 0 1 ; ¡…Absurdo…! 55 Formulario de Álgebra Propiedades de los Factoriales 1. Propiedades: 1.1.n! n n 1 ! 1.2.Si : x! n! x n 1.3.Si : x! 1 x 0 x 1 a! 1.4. a 1 a a 1 1 1.5. 1.6. n! n Z x 1 a 1 ! a! a 1 ! 1.7. x y ! x ! y ! 1.8. x.y ! x !. y ! 1.9.Si : a! b! a b a N 1.10.Si : n! n n 1 ! n n 1 n 2 ! ... n 1;n N 1.11.n! n n 1 n 2 ... n k 1 n k ! 1.12.Si : n! n 1 n 1 ! 1.13.r! r 1 r 2 r 3 ...n n! 2. Cofactorial o Semifactorial: Se define: 1.3.5...a; si : a impar a!! 2.4.6...a;si : a par Ejemplos: 7!! = 1.3.5.7 8!! = 2.4.6.8 3. Relación entre un cofactorial y el factorial: Si: a es impar se tiene: a! a!! , a N a 1 2 2 a 1 ! 2 Si: a es par se tiene: a a ! a!! 2 2 2 a N 56 Carlos David Laura Quispe Número Combinatorio 1. Número Combinatorio: Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que los grupos se diferencias por lo menos en un elemento. 2. Notación. n n C ; n, k N / 0 k n k k Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k en k, o simplemente combinaciones de n en k. Definición: n n! k (n k)! k ! Donde: n,k N;n k 0 Además: n Es el índice superior k Es el índice inferior Ejemplo: 9 9 ! 9 8 7 6 ! C 84 6 (9 6) ! 6! 3 ! 6 ! 3. Propiedades Básicas: 3.1. C n 1 ; C n n ; C n 0 1 n 1 3.2. Complemento C n k C n n k 3.3. Degradación: C n n .C n 1 k k k 1 3.4. Reducción: C n C n n 1 k k 1 Ck 1 n n Ck .C n 1 k k 1 C n n n 1 k .C n k k n k 1 C n n k .C k k 1 57 Formulario de Álgebra Propiedades de Número Combinatorio 1. Propiedades Adicionales. n n n 1 1.1. k k k 1 n n k 1 n 1.2. k k k 1 n n 1.3. k n k n 1 n n 1.4. k k k 1 n n k n 1.5. k 1 k 1 k k p n n 1.6. k p k p n 2. Número Combinatorio de Índice Superior Negativo o Fraccionario. k Factores n n n 1 n 2 n 3 ... n k 1 k k! Con: n R k N 3. Series Notables. Cn 0 Cn n n n 1 C2 ... Cn 2 ; n Cn Cn Cn 0 2 4 ... C n n 1 n 1 2 ; n : impar Cn 0 Cn 3 Cn 5 ... C n n 1 2n 1 ; n : par 4. Igualdad de Números Combinatorios. Si: n m n m k r Ck Cr n m k r n 58 Carlos David Laura Quispe Binomio de Newton 1. Definición. La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. Así tenemos: (x a)1 x a (x a)2 x2 2xa a2 (x a)3 x3 3x2a 3xa2 a3 (x a)4 x4 4x3a 6x2a2 4xa3 a4 (x a)5 x5 5x4a 10x3a2 10x2a3 5xa4 a5 En forma general: (x a)n C n xn C n xn 1a C n xn 2a2 0 1 2 .... C n n an Donde: x: primer término; a: segundo término; además x;a 0y n 2. Cálculo del término general (tk + 1 ) Sea: P(x;a) = (x + a)n 5. Propiedades adicionales 2.1. Contado de izquierda a derecha: 5.1. La suma de coeficientes en el desarrollo del n n k k binomio (ax + by)n es: tk 1 Ck x .a x = y = 1(a + b)n Donde: “tk + 1” es el término de lugar (k + 1) Donde “x” e “y” son las variables. 2.2. Contado de derecha a izquierda: t C n xk .a n k 5.2. La suma de exponentes en el desarrollo del k 1 k 3. Término central binomio (x y )n es: 3.1. El desarrollo del binomio tendrá un único ( )(n)(n 1) término central si “n” es par, luego la posición 2 n que ocupa este término es: 1 5.3. El coeficiente del valor máximo en el 2 desarrollo de (x + a)n es el término central si “n” n n es par y los dos términos centrales si “n” es 2 tc tn C n .x 2 .a impar n 1 2 2 Si: (x + y)2n coef .máx. :C 2n n 3.2. Si “n” es impar existen dos términos 2n+1 centrales. Si: (x + y) coef .máx. :C 2n 1 2n 1 n y Cn 1 t t 5.4. El número de términos del desarrollo del n 1 n 1 1 trinomio (x + y + z)n es: 2 2 (n 1)(n 2) 4. Fórmula de Leibnitz: Para obtener el ;n desarrollo de un trinomio con exponente natural 2 usaremos la fórmula de Leibnitz: 5.5. En general, el número de términos del desarrollo de: n! (x y z)n x y z (x1 x2 x3 ... x n r ) Es: ; ; !. !. ! (n r 1)! Donde:" "," "," " y "n" ;n Además: n, donde la suma se n!(r 1)! realiza para todos los valores que pueda tomar " "," "," ". 59 Formulario de Álgebra Binomio de Newton: Triángulo de Pascal 1. triángulo de Pascal o Tartaglia: Al considerar sólo los coeficientes de las sucesivas potencias de (a + B), obtenemos un arreglo de números en forma de triángulo: (a+b)0= 1 (a+b)1= 1 1 (a+b)2= 1 2 1 (a+b)3= 1 3 3 1 (a+b)4= 1 4 6 4 1 (a+b)5= 1 5 10 10 5 1 (a+b)6= 1 6 15 20 15 6 1 … … Este arreglo se llama Triángulo de Pascal en memoria del matemático francés Blaise Pascal, que tiene propiedades interesantes con relación a la fórmula del Binomio de Newton y al Cálculo de Probabilidades. 2. Observaciones: Término general contado de izquierda a derecha: n 2.1.T C .xn k k 1 .y k k Término general contado de derecha a izquierda: n 2.2.T n k k 1 C .y .xk k n n 2.3.Si :C k pók p n k C p n n n n 2.4.C C C ... 2n ; n N o 1 2 Cn n(n 1) 2.5. Exp ( ). ;en : (x y ) n 2 n n n n n n n 1 2.6. 1 C ; 2.7. C 1; 2.8. 0 0 n n Ck k Ck 1 n n n 1 2.9.Ck n k Ck n n k 1 n n n 2.10.Ck k C ; 2.11. k 1 Ck Cn k n n n 1 2.12.Ck Ck 1 Ck 1 60 Carlos David Laura Quispe Números Imaginarios 1. Cantidades Imaginarias: Son aquellas que resultan de extraer una raíz de índice par a un número negativo. par A # imagianrio 1.1. Unidad Imaginaria: (Notación de Gauss) 1 i Ej. 9 (9)( 1) 9 1 3i ; en general. a (a)( 1) a 1 ai Observación: a b a b 2. Potencias de la unidad imaginaria: i1 i i 2 ( 1)2 1 i 3 i 2 i i i 4 i 3 i i i i 2 1 i5 i 4 i 1 i i i 6 i 5 i i i i 2 1 i 7 i 6 i 1 i i i8 i 7 i i i i 2 1 Generalizando: i 4k 1 i 4k 1 i i 4k 2 1 i 4k 3 i 0 0 0 0 i4 1 ; i4 1 i ; i4 2 1 ; i4 3 i Generalizando: 0 i 4 k ik ; k Z 0 Donde: 4 : múltiplo de 4 ¡…Importante…! 2 0 222 i i4 1 Nota: n 0 2 4 , n 2 61 Formulario de Álgebra Propiedades de Números Imaginarios 1. Observación: i 4 i 8 i12 i16 i 20 ... i 4k 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 i 4 i8 i12 i16 i 20 i 4k 1 1 i3 1 i i 3 i i 3 i i i3 i i 2 1 i2 4 1 i 1 i 1 i2 i2 i4 i 224 1 ; i 77591 i3 i ; i 1111 i Por tanto deducimos que: i n ( 1)n (in ) ; n N 2. Propiedades: i i 2 i 3 i 4 0 i i 2 i3 i 4 i 5 ... i 4k 0 1 i i 2 i3 0 i n i n 1 i n 2 i n 3 0; n Z 3. Equivalencias Importantes: 1 i 1 i i; i 1 i 1 i 1 i i (1 i)2 2i (1 i)2 2i (1 i) 4 (1 i)4 4 (1 i)8 (1 i)8 16 (1 i)3 1 3i 3i 2 i3 2(1 i) (1 i)3 1 3i 3i 2 i 3 2(1 i) 62 Carlos David Laura Quispe Números Complejos 1. Números Complejos: Número complejo es aquel que resulta de la unión de un número real con un número imaginario. i Adem ás : i 1 2. Operaciones con complejos: 2.1. Complejos conjugados: Si: i Su conjugado: i 2.2. Complejos opuestos: Si: i Su opuesto: 0 i Dado: i ; entonces su módulo está dado por: i i 2 2 2 2 2 2.3. Adición: Si: ( ) i 2.4. Sustracción: Si: i i ( ) i 2.5. Producto: Si: i i ( ) ( ) i 2.6. División: Si: i i ( ) i 2 2 2 2 2.7. Radicación: Si: i i ; Donde : 2 2 2 2 También: a a 2 b2 a a 2 b2 a ib i ;a 2 b2 (a ib)(a ib) 2 2 63 Formulario de Álgebra Representación de Números Complejos 1. Representación polar o trigonométrica de los númeroscomplejos. Sea: Z=a + bi, un número complejo diferente del nulo. Esdecir: | z| 0. Z = a + bi |z| b Eje real a 2 De la figura: Norma: 2 Z a 2 b b2 ; donde:Tan ; entonces: a Z a bi Z | Z | cos | Z | isen Z | Z | (Cos isen ) Cos iSen ; Pues: a Cos b Sen 2. Teorema de MOIVRE. Si: a bi Cos iSen Z n (Cos iSen ) n Z n n Cosn iSenn ; Donde : n Z Una consecuencia es para potenciar fracciones. 1 1 1 1 1 Z n a bi n (Cos iSen n Z n n Cos iSen n n Raíces de números complejos en su forma polar. 1 1 1 360º k 360º k a bi n (Cos iSen n n Cos( ) iSen( ) 3. Multiplicación de números complejos, en su forma polar. Z1 1 Cos 1 iSen 1 y Z 2 2 Cos 2 iSen 2 Z1.Z 2 1. 2 Cos( 1 2 ) iSen( 1 2 ) Observación: Notación de Euler: Z ei 1 Z ei Cos iSen Z e i Cos iSen Cos iSen Representación CIS. Z Cos iSen Cis Representación Factorial. Z Cos iSen 64 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones 1. Ecuación. Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas donde por lo menos existe una variable, qué de aquí en adelante lo denominaremos incógnita. A(x; y; z;...) B(x; y; z;...) ; A B : Son expresiones matemáticas. I miembro II miembro Transponiendo términos llegamos a lo siguiente: A(x; y; z;...) B(x; y; z;...) 0 ; forma general. F ( x;y ;z;...) 0 2. Ecuaciones compatibles. Tienen solución y pueden ser: 2.1. Determinado. El número se soluciones es finito: Ejemplo: 5x 8 10 2.2. Indeterminado. Tienen infinitas soluciones: Ejemplo: 3. Ecuaciones incompatibles. Son aquellas que no tienen solución. Ej m: 9(x 1) 5 9x 11 14 11 ; ¡…Absurdo…! 4. Ecuaciones irracionales. Los exponentes de sus incógnitas son fracciones. 2 x x 9; x 3 x 7; x 8 3x 15 5. Ecuaciones numéricas. Son aquellas cuyos coeficientes son numéricos. 7x 9 23; 2x 2 1 9 6. Ecuaciones literales. Son aquellas cuyos coeficientes son letras. Ax Bx2 C 0; Mz3 1 D 7. Ecuaciones racionales. Los a).Ecuaciones de primer grado. exponentes de sus incógnitas Z y b pueden ser: ax b 0 x ;a 0 a 3 7.1. Enteras: x 2 x 1 0,5x 2 4 b).Ecuación de segundo grado. ax 2 bx c 0 7.2. Fraccionarias: 3 1 x 8 4 x a,b,c R;a 0 9. S istema s de ecua ciones. 8. Ec uaciones equivalentes. Es aquel conjunto de ecuaciones que se Son aquellas que tienen las mismas verifican para los mismos valores de sus soluciones. Ejm. incógnitas. 3x 2 7 5x 4 19 65 Clasificación de las Ecuaciones Formulario de Álgebra Ecuaciones Irracionales 1. Ecuaciones irracionales: Una ecuación con una variable en un radicando es una ecuación irracional. Su forma general es: ax n bx c d 2. Resolución: Para resolver estas ecuaciones, se elevan los 2 miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical. El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en: 2.1. Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada. 2.2. Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de 2° grado con una con una incógnita. 2.3. Se procede a resolver ésta la ecuación de segundo grado, con arreglo a los métodos habituales. 2.4. Al haberse elevado la ecuación al cuadrado. Se ha introducido una solución "FALSA". Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de comprobar en la ecuación irracional original. Se descubrirá entonces que solo una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Esta será su única solución. 3. Caso particular: Ecuación de la forma: x a c a x Con a y c constantes x Se hace que: y a Entonces la ecuación queda reducida a: 1 y c , lo que nos lleva a una ecuación cuadrática: y 2 cy 1 0 y De donde se obtendrá las soluciones y1 e y2 x x Luego: y1 ; y a 2 a Las resolvemos elevando al cuadrado cada término. 66 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones Fraccionarias 1. Definición: Definimos como ecuaciones fraccionarias a toda ecuación que posee variables o incógnita en el denominador. Ejemplos: 5 2 6 x 2 x 2 x 2 4 2x 8 1 x 2 25 x 5 7 8 4 x x 2 x 2 2. Resolviendo Ecuaciones Fraccionarias. Antes de comenzar a resolver la ecuación fraccionaria debemos observar. Primero: determinar el conjunto universo o campo de existencia. Segundo: resolver la ecuación usando los conocimientos básicos aprendidos anteriormente 3. Ejemplo: resolver la ecuación. 12 4 x x 2 Primero vamos a determinar el conjunto universo. x o x 2 o x 2 Luego el conjunto universo es: U R 0;2 12 4 Segundo vamos a resolver la ecuación: x x 2 12(x 2) 4x MCM de: (x; x 2) x(x 2) x(x 2) x(x 2) 12x 24 4x 12x 4x 24 8x 24 x 3 C.S 3 4.¡…Recuerde…! 4.1. Siempre que vamos a resolver una ecuación fraccionaria, primero debemos determinar el conjunto universo o campo de existencia. 4.2. Calculamos el MCM entre los denominadores. 4.3. Acuerdece, que durante la resolución sustituimos los antiguos denominadores por el MCM, después dividimos el MCM por los antiguos denominadores, tomamos el resultado y multiplicamos por el denominador. 67 Formulario de Álgebra Ecuaciones Cuadráticas 1. Ecuación de Segundo Grado: ax2 bx c 0 Donde : a,b,c R a 0 2. Formas de Resolución: 2.1. Por Factorización: Si : ax 2 bx c 0 Factorizamos por el método del aspa simple. a). Descomponer los extremos. b). Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central. Los factores obtenidos los igualamos a cero. m.n 0 m 0 n 0 x1 x2 C.S x1; x2 3. Fórmula General: Si : ax 2 bx c 0 Completando cuadrados. a x 2 b x c a b b 2 ab 2 a x 2 x c a 4a 2 4a 2 2 b ab2 4a 2c a x 2a 4a 2 2 b b2 4ac x 2a 4a 2 Finalmente: b b 2 4ac x1,2, 2a Donde: b 2 4ac Discriminante C.S x1; x2 68 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones Cuadráticas: Propiedades de las Raíces 1. Propiedades de las Raíces: Sea : ax 2 bx c 0 Si : x1 x2 ; son raíces se cumple: b 1.1.x1 x2 a 1.2.x1 x2 S 2 4P a Donde : S suma; P producto c 1.3.x1.x2 a 1 1 b 1.4. x1 x2 c 2. Formación de una Ecuación Cuadrática: Sea : ax 2 bx c 0 , dividimos todo entre: a ax 2 bx c 2 b c 0 x x 0 a a a a a Como: b c x1 x2 ; x .x a 1 2 a x 2 (x1 x2 )x x1.x2 0 3. Naturaleza de las Raíces: Sea : ax 2 bx c 0 b 2 4ac Si : 0 Dos raíces reales y diferentes. La parábola corta al eje x en dos puntos. Si : 0 Dos raíces reales e iguales. La parábola corta al eje x en un solo punto. Si : 0 Dos raíces complejas y conjugadas. La parábola no corta al eje x. 69 Formulario de Álgebra Ecuaciones Cuadráticas: Propiedades Adicionales 1. Propiedades Adicionales. Sean: S x1 x2 P x1.x2 D x1 x2 1.1.(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1.x2 Luego : D2 S 2 4P 1.2.x 2 x 2 1 2 S 2 2P 3 3 3 ; 1.3.x1 x2 S 3SP b2 2ac b(3ac b2 1.4.x 2 2 3 3 1 x2 ; 1.5.x1 x a 2 2 a3 4c 1 1 b 1.6.(x 2 1 x2 ) (x1 x2 )2 a ; 1.7. x1 x2 c 2. Propiedades Particulares. En : ax 2 bx c 0 La condición que se debe cumplir para que: 2.1. Sus raíces sean simétricas u opuestas: x1 x2 0 Es decir las raíces sean iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios. b x1 x2 x1 x2 ; Luego la condición necesaria y suficiente es: b 0 a La ecuación cuadrática que admite raíces recíprocas tiene la forma genérica. ax 2 c 0;a,b 0 2.2. Sus raíces sean recíprocas o inversas: x1.x2 1 c 1 Por propiedad: x1.x2 1 x a 1 x2 Entonces la condición necesaria y suficiente es: c a La ecuación cuadrática que admite raíces recíprocas tiene la forma genérica. ax 2 bx a 0; a, 0 2.3. Una de sus raíces es igual a la unidad: es decir x 1; verifica la ecuación cuadrática. ax2 bx c 0;a 0 Reemplazando este valor, resulta la condición necesaria y suficiente: a b c 0 2.4. Teorema de VIETA: Si : x 2 px q 0; p p 2 Raíces : x1; x2 q; p (x1 x2 );q x .x 2 4 1 2 70 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones Bicuadradas 1. Definición: Definimos como ecuación bicuadrada las ecuaciones escritas de la forma siguiente: ax 4 bx 2 c 0 Donde: a;b c R a 0 ; a;b c ; Son coeficientes numéricos. Ejemplos: 3x 4 x 2 8 0 2 2x 4 x 2 10 0 7 2. Solución: b b 2 4ac x 2a 2.1. Suma de raíces: x1 x2 x3 x4 0 c 2.2. Producto de raíces: x1.x2 .x3 .x4 a b 2.3. Producto de dos en dos: x1 .x2 x3 .x4 a 2.4. Formación de una ecuación bicuadrada: x 4 (x1.x2 x3 .x4 )x 2 x1.x2 .x3 .x4 0 2.5. Si: x1 N x2 N x2 M x4 M 71 Formulario de Álgebra Ecuaciones Polinómicas 1. Ecuación polinómica. Expresión algebraica de la forma: P(x) an xn an 1 xn 1 a x n 2 n 2 ... a1 x a0 Donde: ao ;a1;a2 ;...an , son coeficientes reales,: n Z Esta ecuación es de grado "n" si y sólo si: an 0 / an =coeficiente principal 2. Ecuación de grado superior. 2.1. Teorema fundamental del álgebra. Sea la ecuación polinomial. P(x) a n n 1 n 2 n x an 1 x an 2 x ... a1 x a0 “Toda ecuación polinomial tiene por lo menos una raíz ya sea real o compleja” 2.1.1. Teorema del factor: si el polinomio P(x) se anula para x a , entonces (x a) es un factor de P(x) y, por consiguiente "a"es una raíz de dicho polinomio. 2.2. Corolario. Toda ecuación polinomial de grado "n" tiene exactamente "n" raíces contadas con su respectiva multiplicidad. Sean las raíces de P(x) , polinomio de grado "n" con coeficiente principal "an" x1; x2 ; x3 ; x4 ;...xn El polinomio puede expresarse de la siguiente manera: P(x) an (x x1 )(x x2 )(x x3 )...(x xn ) / a0 3. Teorema de CARDANO-VIETA. P(t) a.xn b.xn 1 c.xn 2 d.xn 3 ... px q 0 / a 0 Cuyas raíces son: x1; x2 ; x3 ; x4 ;...xn ; entonces: 3.1. Suma de raíces: b S1 x1 x2 x3 x4 ... xn a 3.2. Suma de productos c binarios: S2 x1.x2 x2 .x3 x3.x4 x4 .x5 ... xn 1.xn a 3.3. Suma de productos ternarios: d S3 x1.x2 .x3 x2 .x3.x4 x3.x4 .x5 x4 .x5 .x6 ... xn 2 .xn 1.xn a 3.4. Producto de raíces: q Sn x1.x2 .x n 3.x4 ...xn ( 1) a Importante: este teorema nos permite tener relaciones numéricas entre las raíces de una ió ti fi i t 72 Carlos David Laura Quispe Ecuaciones Polinómicas: Propiedades 1. Teoremas sobre las pariedades de las raíces. 1.1. Pariedad de raíces imaginarias: Toda ecuación polinomial de coeficientes reales que tenga una raíz compleja de la forma: a bi donde: a,b R i 1 . Tendrá necesariamente por raíz al complejo conjugado de la raíz inicial es decir: a bi; (b 0) 1.2. Pariedad de raíces irracionales: SI una raíz del polinomio P(x) de coeficientes racionales, es el número irracional: a b (a;b Q b 0 b Q) , entonces necesariamente otra raíz de la ecuación será el irracional conjugado: a b . Observación: todas las raíces imaginarias de una ecuación polinomial, con coeficientes reales, se presentan por pares, las cuales son dos a dos números imaginarios y conjugados. Por ello, el número de raíces imaginarias de este tipo de ecuaciones es par. 1.3. Tetraridad de las raíces irracionales: Si una ecuación polinomial Pn (x) 0 ; con coeficientes racionales , admite la raíz irracional ( a b) , donde a b , son racionales positivos no cuadrados perfectos ( a , b) , son irracionales entonces, su irracional conjugado ( a b) , su opuesto ( a b) , y el conjugado de su opuesto ( a b) ,también son raíces de dicha ecuación. 1.4. Ternaridad de las raíces complejas: 3 Si una ecuación polinomial Pn (x) 0 , con coeficientes racionales, admite la raíz irracional a , donde a 3 3 2 es un racional no cubo perfecto, entonces aw y su conjugada aw , también son raíces de dicha ecuación; siendo "w" una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad. 1.5. Teorema de BOLZANO (teorema del valor intermedio): Este teorema es aplicable para funciones continuas, aquí lo aplicaremos para polinomios. “En todo polinomio P(x) , de coeficientes reales, si: P(a).P(b) 0 , entonces existe al menos una raíz real x0 a;b ”. Ejemplo: Sea: P(x) 2x3 15x2 28x 40 Se observa que: P(0) 2(0)3 15(0)2 28(0) 40 40 P(0) 0 P(1) 2(1)3 15(1)2 28(1) 40 1 P(1) 0 Como P(0).P(1) 0 ; entonces existe al menos una raíz x0 ; de P(x) , en el intervalo 0;1 73 Formulario de Álgebra Matrices 1. Definición: Es un conjunto de elementos (números, funciones, vectores, etc.) dispuestos en forma rectangular y además ordenados en fila y columnas. A las matrices se les denota con letra mayúscula y se le encierra entre paréntesis o corchete. 2. Notación General: Se simboliza cada elemento con subíndices de la forma aij donde i representa a la fila donde se encuentra y j la columna. Así la matriz de " m " filas y " n " columnas cuyos elementos son aij es: a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n A a a a a Filas 31 32 33 3n am1 am2 am3 am.n mxn Columnas Que abreviadamente se representa por: A (aij )mxn Donde: m = número de filas n = número de columnas m;n N i 1;2;3;4;...; m j 1;2;3;4;...; n A es la matriz de "m" filas y "n" columnas. a23 es un elemento de la matriz A. ubicado en la fila 2 y la columna 3. 74 Carlos David Laura Quispe Orden de una Matriz 1. Observaciones: 1.1. Las matrices usualmente se denotan por las letras mayúscula: A; B;C; D; E;...; Z 1.2. Para la notación de una matriz en la forma general. Sus elementos se designan con letras minúsculas aij que vienen acompañadas de dos subíndices , donde el primer subíndice ( i ) indica el número de la fila y el segundo ( j ) el número de la columna en la cual se encuentra ubicado dicho elemento. Ejm. Columna j (j=2) 2 - 3 10 - 5 7 8 11 - 1 A 6 7 - 9 - 4 Fila i (i=3) 3 1 4 7 12 13 - 6 9 5x4 2. Orden de una Matriz: Es una característica de toda matriz viene dado por la multiplicación indicada del número de filas y el número de columnas de dicha matriz, así si la matriz tiene " m " filas y " n " columnas, diremos que la matriz es de orden mxn . b11 b12 b13 b1n b21 b22 b23 b2n B b31 b32 b33 b3n bm1 bm2 bm3 bm.n mxn Por consiguiente el orden de B mxn Ejemplo: 1 2 1 0 10 C 4 3 0 4 9 2x5 Entonces, será de orden 2x5, pies tiene 2 filas y 5 columnas 75 Formulario de Álgebra Matrices Matrices Especiales 1. Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir es de orden " mx1" A (aij )mxn Es una matriz columna si: n 1 o bien A (aij )mx1 4 10 3 3 4 A 5 F 1 G 1 1 3x1 8 12 4 x1 0 5x1 2. Matriz Fila: Es aquella que tiene una sola fila, es decir es de orden "1xn " A (aij )mxn , es una matriz fila Si; m 1 o bien. A (aij )1xn C 12 2 9 7 1x4 ; H 15 10 11 1x3 W 13 0 15 8 9 17 1x6 3. Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el número de filas es distinta al número de columnas: Esto es: La matriz A (aij )mxn Es rectangular Si; m n . 10 9 1 10 13 T 14 8 11 6 9 2x5 Es una matriz rectangular de orden 2x5. 76 Carlos David Laura Quispe Matrices Matrices Especiales 1. Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son ceros, es decir, una matriz. A (aij )mxn , es nula, si: aij 0 ; ij 0 0 0 0 0 0 0 0 A ; F 0 0 0 0 0 K 0 0 0 0 0 0 3x3 A es una matriz rectangular nula de orden 2x2; F es una matriz rectangular nula de orden 2x3; K es una matriz rectangular de orden 3x3. 2. Matriz Cuadrada: Esta matriz se caracteriza por tener igual cantidad de filas y columnas, por consiguiente es una matriz de orden "nxn" o simplemente es una matriz de orden n, y se denota. A (aij ) nxn A (aij )n 2 4 6 W 0 9 2 ;T 7 5 8 Toda matriz cuadrada posee diagonal principal y diagonal secundaria. Consideremos la matriz T Diagonal Principal: ; Diagonal Secundaria: 3. Traza de una Matriz Cuadrada: Es la suma de los elementos de su diagonal principal n A (aij ) Traz(A) aij i 1 Ejemplo: Traz(W ) 2 9 8 19 77 Formulario de Álgebra Matrices Casos Particulares de una Matriz Cuadrada 1. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada A (aij ) nxn es una matriz diagonal Si aij 0 , i j , es decir, si todos sus elementos son ceros a excepción de por lo menos un elemento de la diagonal principal. 2 0 0 0 8 0 0 0 0 A B 0 9 0 0 0 0 0 0 0 F 2x2 0 0 3 0 0 9 0 3x3 0 0 0 11 4x4 2. Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal. Son iguales a un número distinto de cero, así: la matriz A (aij ) nxn es una matriz escalar si: k;i j aij 0;i j k 0 0 0 0 k 0 0 A 0 0 0 k Ejemplo: 3 0 0 E 0 3 0 0 0 3 3x3 2 0 0 0 0 16 0 0 M 0 0 9 0 0 0 0 11 4x4 78 Carlos David Laura Quispe Matrices Casos Particulares de una Matriz Cuadrada 1. Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada de orden n denotado por I ó In cuyos elementos de su diagonal principal son todos, iguales a uno y los elementos fuera de la diagonal principal son todos iguales a cero. I = In = ( aij ), Donde: 1;i j aij 0; i j 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 N 0 1 0 I 0 0 1 0 0 0 1 3X3 0 0 0 1 2. Matriz Triangular: Es aquella donde todos los elementos a un lado de la diagonal principal son ceros y al lado opuesto al menos uno no es cero. 2.1. Matriz triangular superior. Una matriz cuadrada A (aij ) nxn Es triangular superior si: aij 0, i j , esto es cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. 4 8 5 B 0 1 8 0 0 2 3x3 2.2. Matriz triangular inferior; es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son iguales a cero, Es decir: A (aij ) nxn es una matriz triangular inferior: Si; aij 0, i j 5 0 0 F 1 - 3 0 7 1 4 3x3 79 Formulario de Álgebra Matrices Casos Particulares de una Matriz Cuadrada 1. Transpuesta de una Matriz: La transpuesta de una matriz A. se denota por At, se define como aquella matriz constituida a partir de la Matriz A, intercambiando sus filas por sus respectivas columnas, conservando todos sus elementos- Si: A (aij ) t mxn A (aij )nxm ; i; j Observación: Si la matriz " A " es de orden mxn , su transpuesta (At) será de orden mxn . 8 9 8 5 3 A 5 4 At 9 4 7 3 7 2x3 3X2 2. Propiedades: a).(A B) t At Bt b).(At ) t A c).(kA) t k.At / k escalar d ).(A.B) t Bt .At e).TrazaA TrazaAt 3. Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A (aij ) nxn es simétrica si: aij a ji , esto es, los elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son iguales. Observación Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simétrica, Si: A At A es simétrica 7 3 2 7 3 2 A 3 1 4 At 3 1 4 2 4 5 3x3 2 4 5 3x3 Como: A At A Es simétrica 80 Carlos David Laura Quispe Matrices Casos Particulares de una Matriz Cuadrada 1. Matriz Antisimétrica: Una matriz cuadrada A (aij ) nxn es antisimétrica Si: aij aij , i, j ; esto es, los elementos dispuestos simétricamente, con respecto a la diagonal principal, son de signos opuestos. Observación Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se llama antisimétrica. Si: A At A es antisimétrica 0 2 3 0 2 3 0 2 3 A 2 0 4 A 2 0 4 At 2 0 4 3 4 0 3x3 3 4 0 3x3 3 4 0 3x3 Como: A = -At A es antisimétrica 2. Matriz Opuesta: Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y además sus respectivos elementos son opuestos: 2 1 3 A 0 6 1 Su opuesto es: 1 4 1 3X3 - 2 1 - 3 - A 0 - 6 1 1 - 4 -1 3X3 2.1. Propiedades: Sean A y B matrices cuadradas de orden "n" A At a). Si: B B es simétrica 2 A At b) Si: B B es antisimétrica 2 c) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una simétrica y otra antisimétrica A At A At A 2 2 Simétrica Antisimétrica 81 Formulario de Álgebra Operaciones con Matrices 1. Adición de Matrices: Sean las matrices A y B, A = (aij)mxn y B = (bij)mxn, la suma de A y B es la matriz A+B de orden mxn obtenida al sumar los elementos correspondientes de las matrices (elementos homólogos). a11 b11 a12 b12 a1n b1n A B aij bij a21 b21 a22 b22 a2n b2n am1 bm1 am2 bm2 amn bmn Nota: La suma de matrices se puede efectuar si los sumandos tienen igual orden. 2. Propiedades: Si : A, B,C 0 ; son matrices del mismo orden, además O representa la matriz nula, entonces: A B B A....Ley conmutativa (A B) C A (B C)....Ley asociativa A 0 0 A....Elemento neutro aditivo A ( A) 0.... Inverso aditivo 3. Sustracción de Matrices: Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A - B es la matriz en la que cada elemento es la resta de los elementos de la misma fila y columna de A y B. Si A y B son del mismo orden: A B A ( 1)B A B (aij bij )mxn 4. Multiplicación de un escalar por una matriz. Dados una matriz A = [aij]mxn y un escalar K, el producto de K y A es la matriz: ka11 ka12 k a1n K . A = ka21 ka22 k a2n kam1 kam2 k amn Si: A = [aij]mxn K.A = (kaij)mxn / K R 82 Carlos David Laura Quispe Multiplicación de Matrices 1. Multiplicación de dos matrices: Dadas 2 matrices A = (aij)mxn y B = (bjk)nxp existe una tercera matriz C = (Cik)mxp, que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde Cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna "k" de la segunda matriz: n A x B = (Cik)mxp / Cik = aij x b jk j 1 A x B existe si sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Am x n Bn x p Deben ser iguales A x B es "m" por "P" 2. Regla de cálculo: Si: A x B = C, un elemento de la matriz de producto será igual al producto de la fila i de la matriz A y de la columna j de la matriz B. j j i = Cij i 3. Propiedades: Sean A, B y C matrices para los cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación k y r escalares. 3.1. k(A+B) = kA + KB; 3.2. (k+r).A = kA + rA ; 3.3. k(r.A) = (k.r) . A ; 3.4. A(B.C) = (A.B) C 3.5. A(B+C) = AB + AC ; 3.6. A . B = 0, no implica que A = 0 y B = 0 3.7. A . B = AC, no implica que B = C ; 3.8. En general "AB" no es necesariamente igual a "BA" 83 Formulario de Álgebra Potenciación de Matrices 1. Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden n N, definimos: 1; n 0; A 0 An A; n 1 A.A.A.A...A. n N; n 2 "n" veces 2. Propiedades. La potenciación de matrices es conmutativa. De donde se tendrá. 2.1. Si A es una matriz cuadrada Am xAn = An x Am/m; n N 2.2. si A y B conmutan Am y Bn conmutan siendo m,n naturales 2.3. Si A es una matriz cuadrada (Am)n = Am.n = (An)m; m; n N 2.4. AI = IA = A 2.5. In = I 2.6. (A±B)t = At ± Bt 2.7. (At)t = A 2.8. ( .A)t = .At; = escalar 2.9. (A.B)t = Bt . At 2.10. [(At)t]t = At 3. Ejemplos: 1 1 Sea A , Calcular An 0 1 Por inducción: 1 1 1 A A 0 1 2 1 1 1 1 1 2 A A.A 1 0 1 0 0 1 3 2 1 2 1 1 1 3 A A .A 0 1 0 1 0 1 1 3 1 1 1 4 A4 A3.A 0 1 1 0 0 1 n 1 n A 0 1 84 Carlos David Laura Quispe Potenciación de Matrices 1. Matrices Relacionadas con la potenciación 1.1. Matriz Involutiva Sea la Matriz An: A es Involutiva A2 = In 1.2. Matriz Nilpotente Sea la matriz An: A es nilpotente A2 0 1.3. Matriz Idempotente: Sea la matriz An; A es idempotente A2 A 1.4. Matriz Real Es aquella matriz cuyos elementos son reales A (aij )nxm ;aij R A A 1.5. Matriz Conjugada Es aquella matriz donde sus elementos son el conjunto de los elementos de otra matriz. A (aij )nxm ; A (aij )nxm 1.6. Matriz Hermitiana Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada es decir. Sea: A (aij ) nxn ; es hermitiana si: A (a t ij ) nxn De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales. 1.7. Matriz Antihermitania. Una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitania si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir: A (a t ij ) nxn (A) (a t ij ) nxn A es antihermitiana 85 Formulario de Álgebra Matriz de Cofactores 1. Matriz de Cofactores: Si A es una matriz cuadrada de orden "n" el cofactor del elemento aij se denota por cij y se define: c i j ij 1 .M ij Si: a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 El factor de a23 es: C ( 1)2 3 5 a M ( 1) 11 a12 23 23 a31 a32 En general: Considérese la matriz cuadrada de orden n. a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n a a a a Fila i i1 i2 ij in an1 an2 anj ann Columna j Denotaremos por M ij a la matriz cuadrada de orden n 1 que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A , luego. I) al determinante de la matriz M ij M ij se llamará menor elemento aij de la matriz A . II) Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij . Aij 1 i j .M ij El signo que relaciona a aij y M ij del elemento aij de la matriz A se puede hallar en forma práctica mediante el siguiente arreglo. 86 Carlos David Laura Quispe Matriz Inversa 1. Matriz inversa: En algunas matrices puede identificarse otra matriz denominada matriz inversa. La relación entre una matriz A y su inversa (denotada por A 1 ) es que el producto de A por A 1 en uno y otro orden da origen a una matriz identidad, es decir: A.A 1 A 1.A I OBSERVACIONES: Para que una matriz pueda tener, inversa debe ser cuadrada. La inversa de A también debe ser cuadrada y de la misma dimensión de A. No toda matriz cuadrada posee inversa. Si A posee inversa se le llama no singular o inversible. Si A no posee inversa se le llama singular o no inversible 2. Definición: Sea A una matriz cuadrada no singular si existe una única matriz B cuadrado del mismo orden, tal que A.B B.A I entonces definen B como matriz inversa de A y lo denotamos por A 1 . 3. Teorema A 1 A 0 A.A 1 A 1.A I 4. Cálculo de la Matriz Inversa: 4.1. Orden uno: 1 A a A 1 ;a 0 a 4.2. Orden dos: Si: a b A c d A-1 1 a b ;| A | 0 | A | c a 87 Formulario de Álgebra Matriz Inversa: Método de Gauss 1. Matriz Inversa: Método de GAUSS Jordán Para determinar la inversa de una matriz cuadrada A se sigue los siguientes pasos: 1.1. Se forma la matriz ampliada compuesta por la matriz A y la matriz identidad del mismo, orden de A, lo cual da como resultado. A I Ejemplo: para una matriz de orden 3, la disposición sería la siguiente: 2 10 3 1 0 0 6 1 8 0 1 0 7 0 11 0 0 1 1.2. Se efectúan las operaciones solo por filas en toda la matriz ampliada de manera que A se trasforme en una matriz identidad. La matriz resultante presentará la forma I A 1 de donde A 1 se puede leer a la derecha de la línea. A I Mediante operaciones fundamentales de filas (O.F.F.) se obtiene I B A 1.B 2. Observaciones: 2.1. Si la matriz no tiene inversa, no será posible transformar A en una matriz identidad. 2.2. No todas las matrices cuadradas poseen inversas, pero si la poseen es única. 2.3. La posibilidad de existencia de la matriz A 1 se denota de la siguiente manera: a).A 1 A I (Gauss Jordan) b).A 1 Anxn X B ; (Tienen solución única). c). Si el proceso de reducción conduce a una fila nula en la parte correspondiente a la matriz A , entonces A es singular. 2.4. En el álgebra matricial la operación de división no existe; está es reemplazada de alguna forma por la inversión es decir: AX B X A 1.B 88 Carlos David Laura Quispe Matriz Inversa: Método de Adjuntas 1. PROPIEDADES Sea, A y B matrices cuadradas no singulares y un escalar distinto de cero: 1.1.AxA 1 A 1xA I 1.2. A.B 1 B 1.A 1 1 1.3. A. 1 A 1.4. .A. 1 1.A 1 1 1 1.5. A 1 A A 1.6.Si : A.At I ; Se dice que A es ortogonal. 1 1.7. I. 1 I 1 1.8. A. A 1 t 1 t 1.9. A A 1 2. Adjunta de una matriz. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama adjunta de la matriz A. AdjA Cof ( A) t Ejm. Sea la Matriz: 8 6 A 1 7 a11 7;a12 1;a21 6;a22 8 7 1 Matriz CofA A 6 8 7 6 AdjA 1 8 2.1. Propiedad: Sea A una matriz invertible entonces la matriz inversa está dada por: 1 AdjA A A 2.2. Observación n 1 AdjA A ; Donde n es el orden de la matriz A . 89 Formulario de Álgebra Determinantes 1. Determinante: Se llama determinante, a un valor escalar o número real que se le asocia a cada matriz cuadrada y se denota por: |A| ó det(A) para indicar el determinante de una Matriz A. 2. Matriz de orden uno: Se llama determinante de una matriz de primer orden, formado por el elemento a11, al propio elemento a11. Ejemplo; Si A = [6] |A| = 6 3. Matriz de orden dos: a a Sea la matriz A 11 12 ; se define su determinante. A a11.aa a 22 a12.a21 21 22 4. Determinante de tercer orden: Sea: a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 4.1. Método Menores complementarios a22 a23 a21 a23 a21 a22 A a11 a a a 12 a 32 33 a31 a 13 33 a31 a32 A = a11(a22.a33-a32.a23) - a12(a21.a33-a31.a23) + a13(a21.a32-a31.a22) 4.2. Regla de Sarrus Vertical. a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A a21 a22 a 23 A* a31 a32 a33 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 Pasos: a) Se repiten las filas primera y segunda a continuación de la tercera (formando dos filas adicionales) b) Se toman con signo positivo la diagonal principal (hacia abajo) y las dos paralelas a ella y con signo negativo la diagonal secundaria (hacia arriba) y las dos paralelas a la misma. c) Se efectúan los productos de los elementos de las diagonales y sus paralelas, considerando para cada producto el signo señalado en el paso anterior. A = a11.a22.a33+a21.a13+a31.a12.a23 - (a31.a22.a13+a11.a32.a23+a21.a12.a33) 90 Carlos David Laura Quispe Determinantes: Regla de Sarrus 1. Regla de Sarrus Horizontal: Se aplica la matriz trasladando las dos primeras columnas a la parte final y se aplican multiplicaciones en dirección de las diagonales, conforme se indica. Sea la matriz A: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 A a21 a22 a23 A* a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 A =a11.a22.a33+a12.a22.a31+a13.a21.a32 - (a31.a22.a13+a32.a23.a11+a33.a21.a12) 2. Método de la estrella: Sea la matriz A: a11 a12 a13 a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 A a11a22a23 a21a32a13 a12a23a31 (a31a22a13 a21a12a33 a11.a32 .a23 ) 3. Método de Operaciones elementales: Sea la matriz A: a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 Por operaciones elementales de filas y columnas se consigue la matriz modificada siguiente: 1 a* * 12 a13 A* 0 a* 22 a* 23 0 a* 32 a* 33 A a* 22.a* * * 33 a32.a23 IMPORTANTE: Tener en cuenta el signo de la matriz de cofactores. 91 Formulario de Álgebra Determinantes Propiedades de los Determinantes 1. Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo determinante. Es decir: A = At ; siendo A cuadrada. 2. Si se intercambia dos filas o columnas, consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante sólo cambia de signo. a b * c d A A A A* c d a b 3. Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales; se dirá que su determinante es cero. Ejemplo: 2 3 4 A 0 1 3 A 0 4 6 8 4. Si se multiplican todos los elementos de una fina (o columna) del determinante por un escalar, el mismo determinante queda multiplicado por dicho escalar. 3 4 1 1 4 1 A 6 5 2 A 3 2 5 2 9 8 3 3 8 3 5. Un determinante en el cual todos los elementos de una fila o columna son ceros, es igual a cero. 6. El determinante de una matriz triangular superior o inferior, y de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 1 2 3 A 0 4 5 A (1)(4)(7) 28 4 6 7 7. El determinante de una matriz antisimetría de orden impar es igual a cero. 0 4 - 8 A - 4 0 7 A 0 8 - 7 0 8. A.B A.B 9. kA kn A.k es calar; n es el orden de la matriz A. An A n . n N 92 Carlos David Laura Quispe Sistemas de Ecuaciones 1. Definición: Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, las cuales pueden verificarse para algunos valores asignados a sus incógnitas o tal vez nunca se verifiquen. Ejemplos: 3x 4y 10 5x 6y 3 x y z 12 2x 5y 3z 3 8x 9y z 9 2x 5y z 8w 0 x y z 3w 2 8x 9y 7z 2w 6 x 10y 11z 4w 12 2. Solución de un sistema: La solución de un sistema de ecuaciones, si existe, depende de la cantidad de incógnitas, es decir: 2.1. Si el sistema tiene 2 incógnitas: a11x a12 y b1 a21x a22 y b2 Una solución del sistema de existir será de la forma: x0 ; y0 , llamado par ordenado. 2.2. Si el sistema tiene 3 incógnitas: a11x a12 y a13 z b1 a21x a22 y a23z b2 a31x a32 y a33z b3 Una solución será de la forma: x0 ; y0 ; z0 , llamada Terna Ordinaria 2.3. Así en general, si el sistema tiene n incógnitas, una solución será de la forma: x0; ; y0 ;...w0 , de n elementos, llamada n-ada ordenada. 3. Conjunto solución: es el conjunto formado por todas las soluciones del sistema. 93 Formulario de Álgebra Sistemas de Ecuaciones Equivalentes 1. Sistemas equivalentes: Son aquellas que a pesar de tener ecuaciones, diferentes acepten las mismas soluciones 1.1. Si una ecuación del sistema se multiplica por un número real, no nulo se obtiene un sistema equivalente al primero: Ejemplo: x y 1 x 3y 5 3x 3y 3 C.S. 2;1 x 2y 5 1.2. Si una ecuación de un sistema se sustituye por la suma de ella con otras ecuaciones del sistema previamente multiplicadas por números cualesquiera, se obtiene un sistema equivalente al primero. Ejemplo: x y 1 x 3y 5 x y 3 C.S. 2;1 4x 5 1.3. Si un sistema de ecuaciones se despeja una variable en una de las ecuaciones y la expresión resultante, se sustituye en los demás, el sistema que resulta es equivalente al primero. x y 1 x 1 y x 1 y x 1 y CS 2;1 x 3y 5 x 3y 5 (1 y) 3y 5 4y 4 1.4. Si en un sistema hay una ecuación que es consecuencia de otras varias, se puede suprimir y resulta un sistema equivalente al dado. Ejemplo: x y 1 2x y 3 4x 3y 5 La tercera ecuación se obtiene multiplicando a la primera por 2 y sumándole la segunda. Se dice que la tercera ecuación es consecuencia de las primeras, o también que la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos. La tercera ecuación se puede suprimir o el sistema que queda es equivalente al primero. x y 1 C.S. 2; 1 x 3y 3 94 Carlos David Laura Quispe Clases de Sistemas de Ecuaciones I. De acuerdo a la solución: Los sistemas se clasifican en compatibles o incompatibles dependiendo si existe o no solución. A. Sistemas compatibles: 1. Compatible determinado: Un sistema se llamará compatible determinado si presenta al menos una solución o hay un número finito de soluciones. 2. Sistema compatible indeterminado: Es aquel sistema que tiene infinitas soluciones. B. Sistemas incompatibles o inconsistentes; es aquel sistema que no tiene solución, se dirá que su conjunto solución es el vacío. Ejemplo: x y 1 x y 7 No tiene solución, porque no es posible encontrar dos números reales cuya suma de 1 y, a la vez de 7. En este caso decimos que el sistema no tiene solución, o que es un sistema inconsistente o incompatible. II. De acuerdo al tipo de ecuaciones: Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, A. Sistemas lineales: Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son lineales. Esta denominación se debe a que en la geometría analítica, estas ecuaciones determinan un recta. Ejemplo: x 3y 4z 17 3x 3y 10 3x 5y 8z 2 B. Sistema no lineal. Es aquel sistema donde, al menos una de las ecuación es no lineal. Ejemplo: x2 y2 13 x y 1 95 Formulario de Álgebra Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos variables es de la forma: a1 b1 y c1 a2 b2 y c2 1. Método de sustitución: Se sigue los siguientes pasos. 1.1. Despejar una de las incógnitas del sistema (x e y) 1.2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema obteniendo así una ecuación con una incógnita. 1.3. Resolver la ecuación obtenida. 1.4. Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita. Ejemplo: x 3y 5 x 5 3y 2 5 3y 2y 6 y 1 x 2 2x 2y 6 2x 2y 6 2. Método de igualdad: Se sigue los siguientes pasos 2.1. Despejar en las ecuaciones la misma variable 2.2. Igualar las dos expresiones de la variable despejada. 2.3. Resolver la ecuación obtenida. 2.4. Sustituir la solución en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita. Ejemplo: x 3y 5 x 5 3y 5 3y 3 y y 1 x 2 2x 2y 6 x 3 y 3. Método de de Reducción: Se sigue los siguientes pasos: 3.1. Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. 3.2. Sumar las dos ecuaciones, miembro a miembro. 3.3. Resolver la ecuación obtenida. 3.4. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones y hallar la otra incógnita. Ejemplo: 2x 3y 5 2x 3y 5 1 x 3 y 2x 3y 7 2x 2y 7 3 4x = 12 a x b y c 4. Regla de Cramer: Seael sistema: 1 1 1 a2 x b2 y c2 c1 b1 a1 c1 x c 2 b2 c b c b a c a .c a .c x 1 2 2 1 ; y y 2 2 1 2 2 1 ; Donde : s a1 b1 a1b2 a 2 b2 x a1 b1 a1 .b2 a 2 .b1 a 2 b 2 a 2 b2 x Determinante de x; y Determinante de y; s Determinante del sistema; s 0 96 Carlos David Laura Quispe Sistemas de Ecuaciones Lineales con tres Incógnitas. Toman la siguiente forma: a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b2 Métodos de Solución 1. Método algebraico: Para los sistemas con tres incógnitas es el más usado. Ejemplo: x y z 1.....(1) 4x 3y 2z 16.....(2) 2x 2 y 3z 5.....(3) Primero: Eliminamos la variable "z" de las ecuaciones (1) y (2), multiplicando la ecuación (1) por 2 se tendrá: 2x 2y 2z 2 4x 3y 2z 16 6x y 14...(4) Segundo: Eliminamos "z" de las ecuaciones (1) y (3), multiplicando la ecuación (1) por -3. Se tiene: 3x 3y 3z 3 2x 2y 3z 5 x 5y 8...(5) Tercero: De (4) y (5) se tendrá: 6x y 14 Re solviendo:x 2 y 2 x 5y 8 Finalmente: Reemplazando los valores de xey en (1), (2) ó (3) determinamos z Realizando operaciones se obtiene z 1 97 Formulario de Álgebra Sistemas de Ecuaciones: Método de Cramer Toman la siguiente forma: a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b2 Métodos de Solución 1. Regla de Cramer: (Teorema) 1.1. Determinación de la variable x b1 a12 a13 b2 a22 a23 b X x 3 a32 a33 s a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1.2. Determinación de la variable y. a11 b1 a13 a21 b2 a23 a b a y y 31 3 33 s a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1.3. Determinación de la variable z. a11 a12 b1 a21 a22 b2 a a b z z 31 32 3 s a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Donde: s = se forma con los coeficientes de las incógnitas. x = Se forma cambiando en los coeficientes de x por los términos independientes. y = Se forma cambiando en los coeficientes de y por los términos independientes. z = Se forma cambiando en los coeficientes de z por los términos independientes. 98 Carlos David Laura Quispe Sistemas Lineales de Ecuaciones con “n” Incógnitas 1. Representación. a11x1 a12 x2 an xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 a31x1 a32 x2 a3n xn b3 an1x1 an2 x2 amn xn bn 2. Regla de Cramer: Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n" incógnitas, el valor de una letra cualquiera es una fracción que tienen por denominador al determinante en la que la columna de los coeficientes de la letra se ha cambiado por la columna de términos independientes. El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero. (Determinante del sistema). a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n s a31 a32 a33 a3n am1 am2 am3 amn La solución viene dada por: Xi = i ; i = 1,2,3, ... n i es la matriz que se obtiene a partir de la matriz , s cambiando los elementos de la columna i por los términos independientes. Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas por la regla de Cramer es preciso calcular n+1 determinante de orden n. 3. Propiedades: 3.1. Tiene solución única si s 0 3.2. Tiene infinitas soluciones Si s = 0 i = 0; i = 1,2; ... n 3.3. No tiene solución Si s = 0 i 0 ; Para i = 1, 2; ... n 99 Formulario de Álgebra Teorema de ROUCHÉ-FRÖBENIUS 1. Enunciado: a11x1 a12 x2 an xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 a31x1 a32 x2 a3n xn b3 S an1x1 an2 x2 amn xn bn Consideremos las matrices A , de los coeficientes: a11 a12 a1n a21 a A 22 a2n am1 am2 amn Y la matriz A* ; la matriz ampliada con los términos independientes. a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 A* a31 a32 a3n b3 am1 am2 amn bm 2. Teorema: 2.1. S ; es compatible Rango(A) Rango(A*) n S;Compatible In det er min ado 2.2. Rango(A) Rango(A*) n S;Compatible Deter min ado 100 Carlos David Laura Quispe Sistemas de Ecuaciones Homogéneas 1. Sistema lineal homogéneo: Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene término independiente nulo. a11x1 a12x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 a31x1 a32 x2 a3n xn 0 an1x1 an2 x2 amn xn 0 Siempre es compatible dado que al menos una solución es x1 = x2 = x3 = ... xn = 0; donde es trivial o impropia. 2. Solución trivial: Son las soluciones de la forma {(0;0;0; ...; 0)} un sistema lineal homogéneo siempre tiene una, solución trivial o impropia. El estudio de los sistemas lineales, homogéneas siempre se centrara en investigar si existen otras soluciones a parte de la trivial. (Sistema homogéneo) 3. Analizando: (Sistema homogéneo) 3.1. s 0; el sistema tiene única solución la trivial: (0;0;0). Se deduce de Cramer 3.2. s 0; El sistema tiene infinitas soluciones; es decir es; compatible indeterminado. 3. Teoremas: Sea el sistema. a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 a31x1 a32 x2 a3n xn 0 an1x1 an2 x2 amn xn 0 El sistema siempre tendrá solución, ya que siempre se cumplirá que: r A r B 3.1. Si: r A Al número de incógnitas, existirá una única solución que será la solución trivial. x1 x2 x3 ... xn 0 3.2. Si: r A Al número de incógnitas, existirá infinitas soluciones. 4. Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución distinta de la trivial, si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas. 5. Corolario: Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tienen solución distinta de la trivial, si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo. 101 Formulario de Álgebra Método de GAUSS para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Definición: El método, consiste en realizar determinadas transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales, de modo que los sistemas equivalentes que se van obteniendo contengan menos incógnitas. Como se verá a continuación, cuando el sistema de ecuaciones lineales está dado en su forma matricial el método se deduce a escalonar la matriz ampliada del sistema. Dada una matriz A, es recomendable realizar las operaciones siguientes: 1.1. Permutar dos filas de A. 1.2. Multiplicar todos los elementos de una fila de A. Por un número diferente de cero. 1.2. Sustituir una fila por el resultado, de sumarle a ella un múltiplo de cualquier otra fila. Se les llama TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas en A. 2. Método de Gauss. Sea el sistema. a11x1 a12x2 a13x3 a14 x4 b1 a21x1 a22 x2 a23x3 a24x4 b2 a31x1 a32 x2 a33x3 a34 x4 b3 Luego representamos el sistema en forma matricial. x a11 a 1 12 a13 a14 b x 1 a21 a 2 22 a23 a24 b2 Ax B x a 3 31 a32 a33 a34 b x 3 4 3. Definición: Sea el sistema. a11x1 a12 x2 a13x3 b1 a21x1 a22 x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3 Denotaremos por (A/B) a la matriz ampliada del sistema definido por: a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 Al usar las operaciones elementales en las filas se busca transformar una matriz aumentada en una matriz de un sistema en forma triangular. La matriz resultante tendrá la siguiente forma para un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. a11 * a12 * a13 * b1 * 0 a22 * a23 * b2 * 0 0 a33 * b3 * Por tanto, se deduce que: * a * * b 33 .x3 b3 x 3 3 ; También: a *x a *x b *;a *x a *x a *x b * a * 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 33 102 Carlos David Laura Quispe Resumen de los Sistemas de Ecuaciones AX B B 0 B 0 Homogéneo No homogéneo Consistente Consistente Inconsistente No hay solución 103 Solución Única (Trivial) Determinado Solución Múltiple Indeterminado Solución Única Determinado Solución Múltiple Indeterminado Formulario de Álgebra Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas 1. Propiedades Particulares. Para el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas. a x 2 1 b1x c1 0;a1 0 a2 x 2 b2 x c2 0;a2 0 La condición que debe cumplirse para que: 1.1. Ambas ecuaciones tengan las mismas raíces: Es decir que las ecuaciones sean equivalentes. Se debe cumplir la relación de proporcionalidad entre los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, la cual es: a1 b1 c1 a2 b2 c2 1.2. Ambas ecuaciones admitan una raíz común (teorema de BEZOUT) Siendo esta relación, LA CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD conocida con el nombre de BEZOUTIANA, para que dos ecuaciones cuadráticas de una incógnita, tengan una raíz común, cuyo valor se determina así: a1 c1 a2 c2 a1 c2 a2 c1 a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 ax 2 bx c 0; a 0 Teoremas: sean las ecuaciones cuadráticas. mx 2 nx p 0;m 0 a b c Son equivalentes entonces: m n p Tienen una raíz común, entonces: (c.m a.p)2 (a.n b.m)(b.p cn) 1.3. Ecuaciones de segundo grado que tiene una raíz común. Las ecuaciones: ax 2 bx c 0 dx 2 ex f 0 Tienen una raízcomún, se elimina " x 2 " y se obtiene la raíz común; es decir: a.dx 2 b.dx c.d 0.....(I ) Restando (I ) (II ) a.dx 2 a.ex a. f 0......(II ) a. f c.d x(b.d a.e) (c.d a. f ) 0 x b.d a.e 104 Carlos David Laura Quispe Intervalos 1. Intervalo. Dado un conjunto ordenado “K” llamaremos intervalo a un 4. Operaciones con Intervalos. subconjunto limitado entre dos extremos (superior, Siendo los intervalos subconjuntos de un inferior), que pueden ser elementos del conjunto “K” o conjunto ordenado, es posible realizar con ideales (+ - ellos las operaciones definidas para los conjuntos, como son la intersección, unión, diferencia y complemento. Sean los intervalos 2. Intervalos Acotados. P y M , se define y denotan: 2.1. Intervalo Abierto: Es aquel campo de valores 4.1. Unión. en el que no se incluyen los extremos. P M x R / x P x M - a b + 4.2. Intersección. a < x < b ó x ] a; b[ P M x R / x P x M 2.2. Intervalo Cerrado: Es aquel campo de valores en el que se le incluyen los extremos. 4.3. Diferencia. P M x R / x P x M - a b + a x b ó x [a; b] 4.4. Complemento. 2.3. Intervalos Semicerrados o Semiabiertos: Pc P , x R / x P - a b + a x < b - a b + a < x b Observación 1: En el caso de interceptar más de una recta se puede dar. 3. Intervalos no Acotados. [a;+ [ = {x R /x a} - a x + Observación 2: ]a;+ [ = {x R /x>a} La notación - a x + número real, sino un símbolo que se utiliza para ]- ;b] = {x R /x b} indicar que es ilimitada por derecha (+ la izquierda (- - x a + ]- ;b[ = {x R /x9 Se verifica para determinar valores que Cumple sólo si: x>3 se asigna a la variable X2+8>0; cumple para todo x que pertenece a R. Se verifica para todo número real que se X2+x+1>0; cumple para todo x que asigna a la variable pertenece a R. Carlos David Laura Quispe Inecuaciones: Soluciones 1. Inecuaciones de 2. Inecuaciones de segundo grado: 3. Inecuaciones de orden primer grado: 1.ax2 bx c 0 superior: 1.ax b 0 2 a0 xn a xn 1 1 ...an 0 2.ax b 0 2.ax bx c 0 a xn a xn 1 ... a 0 3.ax b 0 3.ax2 bx c 0 0 1 n 4.ax2 bx c 0 a xn a xn 1 0 1 ... an 0 4.ax b 0 Donde: a xn a xn 1 0 1 ... an 0 Solución: es aquel valor o valores de la Donde: incógnita o incógnitas que verifica la inecuación. o peraciones básicas Completando cuadrados: y transposición de ax 2 bx c 0 términos 2 b a x x c a Método de los puntos b b 2 ab 2 críticos: El método consiste a x 2 x c en pasar todas expresiones a a 4a 2 4a 2 un solo miembro dejando 4. Sistemas de 2 cero en el otro. Se factoriza la b ab2 4a 2c inecuaciones con a x expresión, luego se iguala una sola incógnita: 2a 4a 2 cada factor a cero para obtener los puntos críticos. ax b 0 S 2 b b2 1 4ac Estos puntos críticos se x cx d 0 S 2 ubican sobre la recta real. 2 2a 4a Luego se asignan los signos (+) y (-) en forma alternada C.S S1 S Luego aplicamos: empezando de derecha a 2 a 2 b a b a b izquierda. Primer caso: Si la inecuación resultante es > 0 ó 0 la solución es el campo positivo Nota: En las desigualdades estrictas (> ó <) los puntos críticos son o la unión de estas. abiertos y en las desigualdades no estrictas ( ó ) los puntos críticos Segundo caso: Si la son cerrados. Es necesario que todos los factores sean de la forma: ax inecuación resultante es < 0 ó + b, con a > 0. 0 , la solución es el campo En caso de que a < 0, bastará con multiplicar por (-1) a dicho factor y negativo o la unión de estas. cambiar el orden de la desigualdad. 109 Formulario de Álgebra Inecuaciones: Propiedades 1. Definiciones de: ; ; ; a;b R ; se define: 1.1.a ; es positivo a 0 1.2.a ; es negativo a 0 1.3.Si : a b a b ; es positivo. 1.4.Si : a b a b ; es negativo. 1.5.Si : a b a b a b 1.6.Si : a b a b a b 1.7.Si : a b c a b b c 2. Axiomasde desigualdades: Si : a;b;c R ; Entonces se cumple que: 2.1.Si : a b b c a c 2.2.Si : a b c R a c b c a b 2.3.Si : a b c 0 a.c b.c; c c a b 2.4.Si : a b c 0 a.c b.c; c c 3. Inecuaciones Fraccionarias: P(x) P(x) P(x) P(x) 0; 0; 0; 0; Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) Resolución: C.V .A. : Q(x) 0 Conjunto Valores Admisibles Puede aplicarse el criterio de puntos críticos, siempre considerando en la ecuación polinomial; a(x x1)(x x2 )...(x xn ) 0 1. Garantizar que el coeficiente principal a 0 ; en caso contrario multiplicar por -1. 2. Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta numérica. Observación: ; : Intervalo cerrado. ; : Intervalo abierto. : Intersección : ( :Unión : (U) 110 Carlos David Laura Quispe Inecuaciones: Propiedades Adicionales 1. Teoremas relativos a desigualdades: 1.Si : a R a 2n 0 1 2.Si : a 0 0 a 1 3.Si : a 0 0 a 4.Si : a b c d (a c) (b d ) (a c) (b d ) 5.Siendo : a,b,c d R Si : a b c d a.c b.d ; a b Si : a b c d c d 6.Siendo : a b ; De igual signo. 1 1 7.Si : a b ; a b 8.Si : a b a b 9. a R : a 2 0 ; 10.Si : a 0 a 1 0 1 1 11.Si : a b ; tienen el mismo signo y si: a b a b 12.Siendo : a b R ;n Z Si : a b a 2n b2n ; Si : a b 2n a 2n b 13.Si : a m a n a 1 m n 14.Si : a m a n 0 a 1 m n 15.Siendo : a;b R ;n Z Si : a b a 2n b 2n 16.Siendo : a b R;n Z Si : a b a 2n 1 b2n 1 Si : a b 2n 1 a 2n 1 b 111 Formulario de Álgebra Inecuaciones: Método de los Puntos Críticos 1. Propiedades más usuales para resolver inecuaciones: 1.1.Si : a x b x a x b 1.2.Si : a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) 1.3..Si : a.b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) 1.4..Si : a 2 b b 0 b a b 1.5..Si : a 2 b b 0 a b a b 2. Método de los puntos críticos: Sea el polinomio: P(x) an x n an 1xn 1 an 2 xn 2 ... a1x a0 Donde: ao ;a1;a2 ;...an , son coeficientes reales,: n Z x1 Esta ecuación es de grado "n" si y sólo si: an 0 / an =coeficiente principal Puede aplicarse el criterio de puntos críticos, siempre considerando en la ecuación polinomial; a(x x1)(x x2 )...(x xn ) 0;( ; ; ; ) 1. Garantizar que el coeficiente principal a 0 ; en caso contrario multiplicar por -1. 2. Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenadamente de menor a mayor en la recta numérica (asumiendo que: x1 x2 x3 ... xn 1 xn ) - + - + - + - + x1 x2 x3 0 x4 … xn 1 xn Primer caso: Si la inecuación resultante es > 0 ó 0 la solución es el campo positivo o la unión de estas. Segundo caso: Si la inecuación resultante es < 0 ó 0 , la solución es el campo negativo o la unión de estas. 3. Inecuaciones exponenciales: Si : b f ( x) b g ( x) f (x) g(x),cuando : b 1 Si : b f (x) bg (x) f (x) g(x),cuando: b 1 Si : b f (x) b g(x) f (x) g(x),cuando : 0 b 1 Si : b f ( x) bg ( x) f (x) g(x),cuando : 0 b 1 112 Carlos David Laura Quispe Valor Absoluto 1. Definición. El valor absoluto de un número real x es aquel número positivo denotado por |x| y definido así: x; x 0 x x; x 0 2. Interpretación Geométrica. El valor absoluto de “x”, representa la distancia que existe de x al cero. |-x| |x| -x 0 x 3. Teoremas. 4. Ecuaciones con Valor Absoluto. x , sec umple : x y y 0 x y x y x 0 x y x y x y x 0 x 0 x x x x 5. Inecuaciones con Valor Absoluto. x y y x 1. Si: y o , entonces se cumple: x y x y x y y x y x.y x y x y y x y x x ; y 0 y y 2. x y x y x y 2 x x 2 3. x y x y x y x2 x 4. x y (x y)(x y) 0 n x n x 5. x y (x y)(x y) 0 xn n x 6. x y (x y)(x y) 0 x y x y ; Desigualdad triangular 7. x y (x y)(x y) 0 a a a 8.a x b x máx a , b 113 Formulario de Álgebra Progresión Aritmética (P.A.) 1. Progresión Aritmética. Decimos que una sucesión de números están en progresión aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) de la progresión: Ejemplos: 3; 7; 11; 15; … 8; 2; -4; -10; … a, a + r, a + 2r, a + 3r, … Representación: t1, t2 ,t3 , t4 ,t5 ,...tn 2 , tn 1, tn P.A. de “n” términos Donde: tn tn 1 ...t5 t4 t4 t3 ... 1 t1 t1 2 t2 t1 r 3 t3 t1 2r 4 t4 t1 3r 5 t5 t1 4r ... n tn t1 (n 1)r Por analogía. tn t1 (n 1)r Donde: t1 Primer término; tn n-ésimo término r Razón; n número de términos 2. Fórmulas. ¡…Importante…! Despejando obtenemos tn t1 (n 1)r t1 tn (n 1)r t t t t r n 1 ; n n 1 1 n 1 r Observación: Si : r 0 ; La P.A. es creciente. Si : r 0 ; La P.A. es decreciente. 114 Carlos David Laura Quispe Progresión Aritmética: Propiedades 1. Suma de términos de una P.A. t t S 1 n n n;como : tn t1 (n 1)r 2 n Sn 2t1 (n 1)r ;También 2 2tn (n 1)r Sn n 2 ¡…Importante…! t t k 1 tk 1 k 2 tn tk (n k)r Donde: k es un lugar cualquiera 2. Interpolación de medios aritméticos Es la operación que consiste en formar una P.A.: conociendo los extremos y el número de medios a interpolar, la razón de interpolación es: t t r n 1 n 1 3. Término Central. t t 1 tn c 2 4. Medios aritméticos o diferenciales Son los términos de una P.A. comprendidos entre sus extremos " m 2" términos a .................................. b " m"medios aritméticos Sabemos que: tn t1 (n 1)r b a (m 2) 1 r b a r m 1 115 Formulario de Álgebra Progresión Geométrica (P.G.) 1. Progresión geométrica Decimos que una sucesión de números están en progresión geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q) de la progresión. Ejemplos: an 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128 … ; xn -1; -3; -9; -27; -81; -243; -729 qn a, aq, aq2, aq3,-1 … Representación: t1;t2 ;t3 ;t3 ; t4 ;t5 ;...tn 2 ; tn 1; tn x.r P.G. De “n” términos Donde: tn tn 1 t5 t4 t r ... 3 ... tn 1 tn 2 t4 t3 t2 1 t1 t1 2 t2 t1.r 3 t3 t1.r 2 4 t t .r 3 4 1 5 t t .r 4 5 1 ... n tn t1.r n 1 Por analogía: tn t1.r n 1 Donde: t1 Primer término; tn n-ésimo término r Razón; n número de términos 2. Fórmulas. ¡…Importante…! Despejando obtenemos t t .r n 1 t t n t .r1 n n 1 1 r n 1 n t n 1 tn n t1.r r n 1 t1 log tn log t n 1 1 log r 116 Carlos David Laura Quispe Progresión Geométrica: Propiedades 1. Suma de términos de una P.A. t1 tn .r Sn ; pero : t n 1 (1 r) n t1.r t (r n 1) S 1 n r 1 Para P.G. decrecientes ilimitadas (suma límite) t S 1 ;(n r 1);(0 r 1) 1 r 2. Interpolación de medios geométricos. Se llaman medios geométricos a los términos de una P.G. comprendidos entre el primero y el último término, previamente debe hallarse r. t r n n 1 t1 3. Propiedades. t1.tn t2 .tn 1 t3.tn 2 ... Si k es un lugar cualquiera. tn tk .r n k tk tk 1 tk 1 Si n es impar, el término central es:: tc t1 tn P t t n 1 n ; n par P t n c ; n impar 4. Medios geométricos. Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos " m 2" términos a .................................. b " m" medios geométricos Sabemos que: t t n 1 m 2 1 n 1.r b a.r b r m 1 a 117 Formulario de Álgebra Logaritmos 1. Definición: Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado. 2. Notación: Dado: b x N ; potenciación La operación inversa, osea: Logb N x ; recibe el nombre de logaritmación. Ejem. 32 = 9 Log3 9 = 2 33 = 27 Log3 27 = 3 34 = 81 Log3 81 = 4 35 = 243 Log3 243 = 5 3. Logaritmo de un número real. Definición: El logaritmo de un número real y positivo real y positivo N, en l base b(b > 0 b 1) es el exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número N, es decir: Log x b N x b N Donde: Log : Operador logarítmico N: Número dado (real y positivo) b: Base del logaritmo (positivo y 1) x: Logaritmo (cualquier número real) 4. Propiedades Elementales: 4.1. Logbb n n 4.2. Logb1 0 4.3. bLog bn n 4.4. Log A.B Log A Log B A 4.5. Log LogA LogB B 4.6. Log An n Log A 1 4.7. Log n A LogB A B n 118 Carlos David Laura Quispe Logaritmos: Propiedades 1. Propiedades Adicionales: 1 1.1. Logb x Log xb Log a 1.2. Logba Log b 1.3. Logab .Logba 1 1.4. b Loga x x Logab 1.5. log n n b A (log b A) ; n Z , n 1 1 1.6. Log n b A Logb A ; n 2;n Z n 1.7. Log b A Log n n A Log n b n A ; n Z b n 1.8. Log m An Logb A ; m, n Z+ b m 1.9. Inversa de base y número. 1 Loga A Log 1 A a 1 Loga Log A 1 A a 1.10. Exponente logarítmico. ALog a N N Log a A 1.11. Cambio de base: siendo b 0;b 1 Log Log A b A a Logba 1.12. División de logaritmos con base a: Loga N Log N Log M aM 1.13. Regla de la cadena. Logab.LogbC.Logcd .Logd e Logae 119 Formulario de Álgebra Logaritmos Neperianos 1. Sistema de logaritmos neperianos. Llamados también naturales o hiperbólicos cuya base es el número trascendente e(e 2,718281...) x 1 1 e Limx 1 ;e Lim y 0 1 y y x Logea Lna ; Se lee logaritmo neperiano de a . Conversión de neperiano a decimal: Lna 2,3026Loga Conversión de decimal a neperiano: LogA 0,4343LnA 2. Propiedades: logaritmo neperiano (b=e). 2.1. Lna n en a 2.2. LnA P PLnA 2.3. LnA LnB LnA.B A 2.4. LnA LnB Ln B 2.5. eLnA A; Ln1 0; Lne 1; Lne p p 3. Propiedades de logaritmos decimales (b 10). 3.1. Loga n 10n a ; 3.2. LogA p pLogA ; 3.3. LogA LogB LogA.B A 3.4. LogA LogB Log ; 3.5. 10Loga a; Log1 0; Log10 1 B Loga Logba; Log10n n; Loga.Loga.10 1 Logb 4. Inecuaciones logarítmicas: Siendo : a 1 4.1. Loga A Loga B A B 4.2. Loga A Loga B A B Siendo : 0 a 1 4.3. Loga A Loga B A B 4.4. Loga A Loga B A B 120 Carlos David Laura Quispe Cologaritmo y Antilogaritmo 1. Cologaritmo. Se define el cologaritmo de un número N positivo en una base dada “b” positiva y diferente de la unidad, como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base. 1 Co logb N logb log N b N 2. Propiedades: 2.1.anti logb Logb X X 2.2.anti log 1 b Co log b X X 2.3.logb anti logb X X 2.4.Co logb anti logb X X Ejemplo: Colog 1 2 log2 16 4 16 . 3. Antilogaritmos. El antilogaritmo de un número real en una base dada es igual al número que resulta de elevar la base al número. anti log b X Exp p b (X ) b ; p R b o b 1 Ejemplos: Ejemplos: antilog23 = 23 = 8 antilog25 = 25 = 32 Propiedades 1). antilogb (logbN) = N ; N > 0 b > 0 b 1 2). logb(antilogbx) = x ; x R b > 0 b 1 Ejemplos: antilog5(log5log216) = log216 = 4 og3(antilog3400) = 400 121 Formulario de Álgebra Series Aritméticas Notables: Adición 1. Serie de Números Naturales. n n(n 1) Z n 1 2 3 4 5 6 ... n i i 1 2 2. Serie de Números Pares. n Z n 2 4 6 8 10 ... 2n 2i n(n 1) i 1 3. Serie de Números Impares. n Z n 1 3 5 7 9 ... 2n 1 (2i 1) n2 i 1 También: 2 A 1 Z n 1 3 5 7 9 ... A 2 Zn 1 3 5 7 9 ... 2n 1 n 1 2 4. Serie de Cuadrados. n Z 12 22 32 42 2 2 2 n(n 1)(2n 1) n 5 ... n i i 1 6 4. Serie de Cubos. 2 3 3 3 3 3 3 n(n 1) Z n 1 2 3 4 5 ... n 2 4. Serie de Números Impares al Cuadrado. n 2 2 2 2 2 n(4n 1) Zn 1 3 5 7 92 ... (2n 1)2 (2n 1)2 i 1 3 4. Serie de Números Impares al Cubo. n Z 13 33 53 3 n 7 93 ... (2n 1)3 (2n 1)3 n 2 (2n2 1) i 1 122 Carlos David Laura Quispe Series Aritméticas Notables: Producto 1. Serie de Productos Binarios. n n(n 1)(n 2) Z n 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 ... n(n 1) n(n 1) i 1 3 2. Serie de Productos Ternarios. n n(n 1)(n 2)(n 3) Z n 1 2 3 2 3 4 ... n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) i 1 4 3. Suma de Inversas de Productos Binarios. 1 1 1 1 n 1 n . Z n ... 1 2 2 3 3 4 n(n 1) i 1 n(n 1) n 1 4. Suma de Números Pares al Cuadrado. n Z 22 42 62 2 2 2 2n(n 1)(2n 1) n 8 ... (2n) (2i) i 1 3 5. Suma Para Múltiplos de un Número. m n(n 1) S 2 Donde: m Múltiplo que se desea. n Número de múltiplos deseados. 6. Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Pares. n Z 23 43 n 63 83 ... (2n)3 (2i)3 2n2 (n 1)2 i 1 7. Suma de las Cuartas Potencias de los “n” Primeros Números Naturales. n 2 Z 14 24 34 44 ... n 4 4 n(n 1)(2n 1)(3n 3n 1) n i i 1 30 8. Suma de Potencias de Igual Base. 1 2 3 4 5 n bn 1 b Z n b b b b b ... b S b 1 123 Formulario de Álgebra Series de Taylor 1. Serie binómica o binomial. f (x) (1 x) 1 x x 2 x3 ... 1 2 3 n ; es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario. 2. Fórmula del coeficiente binómico: ( 1)( 2)( 3)...( n 1) n 1.2.3.4....n Ejemplos: 1 1. (1 x) 1 1 x x 2 x 3 ...; x 1 1 x 1 1 1 1 2. 1 x (1 x) 2 1 x x 2 x 3 ...; x 1 2 8 16 1 1 1 3 3. (1 x) 2 1 x x 2 5 x 3 ...; x 1 1 x 2 8 16 3. Series de TAYLOR: 2 3 3.1.e x x x x 1 ...; x 1! 2! 3! x.ln a (x.ln a)2 (x ln a)3 3.2.a x 1 ...; x 1! 2! 3! 3 5 x 1 1 x 1 1 x 1 3.3.ln x 2 . . ... ; x 0 x 1 3 x 1 5 x 1 x2 x3 x 4 x5 3.4.ln(1 x) x ...; 1 x 1 2 3 4 5 1 1 1 1 4.5.ln 2 1 ... 2 3 4 5 124 Carlos David Laura Quispe Referencias Bibliográficas Alarcón, J.; Bonilla, E., Nava, R.; Rojano, T.; Quintero, R. (2005). Libro para el Maestro. Matemática secundaria. México. D. F. Alcalde, T.; Burgueño, C. (2008). Álgebra. Departamento de Matemática y Estadística. Facultad de Ingeniería y Administración. Universidad de la Frontera. Chile. Alvin, C.; Rencher, A.; Bruce, S. (2008). Linear Models in Statistics. Department of Statistics Brigham Young University. Provo, Utah. Cid, E., Godino, J., Batanero, C. (2004). Matemáticas para Maestros. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. García, J. (2002). Un pequeño manual para la resolución de problemas. Priego de Córdova. España. LEXUS. (2008). Álgebra Manual de Preparación pre universitaria. Lima. Perú. Nachbin, L. (1986). Álgebra Elemental. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas. Rio de Janeiro. Brasil. Macnab & Cummine, (1986) The Role of Conceptual knowledge in Renediation of Procedural Errors. Tsipkin (1985). Matemáticas para la enseñanza media. Editorial MIR Moscú. Kisbye, P.; Miatello, R. (2004). Álgebra I. Matemática discreta I. Facultad de Matemática, Astronomía y Física. Universidad Nacional de Córdova. 125